ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Исследование движения в центральном поле из "Математические методы классической механики " Закон сохранения кинетического момента позволяет свести задачу о движении в центральном поле к задаче с одной степенью свободы. Благодаря тому движение в центральном поле можио исследовать полностью. [c.34] Естественно перейти к полярным координатам г, ф. [c.35] По закону сохранения кинетического момента величина М = = ф (i) г (1) постоянна (не зависит от 1). [c.35] Величина V (г) называется эффективной потенциальной энергией. [c.35] Исследование орбит. Зафиксируем значение постоянной момента М. Изменение г со временем легко исследовать, нарисовав график эффективной потенциальной энергии V (г) (рис. 31). [c.36] Каждый из лучей, ведухцих иэ центра в апоцентр или в перицентр, является осью симметрии орбиты. [c.36] Угол между двумя последовательными перицентр ами вдв ое больше. [c.36] Орбита замкнута, если угол Ф соизмерим с 2л, т. е. если ф = 2я —, где тип целые. [c.37] Можно показать, что если угол Ф несоизмерим с 2л, то орбита заполняет кольцо всюду плотно (рис. 33). [c.37] Если Гп,1п = Гщах, т. е. Е — значение V в точке минимума, то кольцо вырождается в окружность, которая и будет орбитой. [c.37] Только при а = 2. [c.37] При несколько больших минимума V значениях Е кольцо fmin г Гтах будет очень узким, а орбита будет близка к окружности. В соответствующей одномерной задаче г будет совершать малые колебания вблизи точки минимума V. [c.37] Задача. Найти угол Ф для орбиты, близкой к круговой радиуса г. [c.37] Указание. См. пункт Г ниже. [c.37] Если I 7 (г) 1 при г О не растет быстрее М7(2г =), то rmin О и орбита не подходит к центру. Если же U (г) 4- М /(2г ) —оо при г О, то возможно падение в центр поля . Попасть в центр поля можно даже за конечное время (например, в поле U (г)= = - 1/г ). [c.37] Задача. Исследовать вид орбиты в случае, когда полная энергия равна значению эффективной энергии V в точке локального максимума. [c.38] Задача 2. Найти угол Ф для орбиты, близкой к круговой радиуса г. [c.38] При этом Ф р = л / Уа г 2 (логарифмический случай соответствует а = 0). Например, прп а = 2 имеем Ф р = п/2, а при а = —1 имеем Ф р = = п. [c.38] Задача 4. Пусть U (г) —г оо при г — оо. Найти lim Ф Е, М). [c.38] Вернуться к основной статье