ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Галилеева группа и уравнения Ньютона из "Математические методы классической механики " В этом параграфе определяется и исследуется группа галилеевых преобразований пространства — времени. Далее рассматриваются уравнение Ньютона и простейшие ограничения, накладываелше на его правую часть свойствами инвариантности относительно преобразований Галилея ). [c.12] Обозначения. К означает множество всех вещественных чисел. Через К обозначается п-мерное вещественное линейное пространство. [c.12] Множество событий, одновременных друг с р - еш другом, образует трехмерное аффинное подпространство в А . Оно называется пространством одновременных событий А . [c.13] Ядро отображения 1 составляют параллельные переносы А , переводящие какое-нибудь (и тогда любое) событие в одновременное с ним. Это ядро является трехмерным линейным подпространством К линейного пространства К. [c.13] Галилеева структура включает в себя еще один элемент. [c.13] Пространство А , снабженное галилеевой пространственно-временной структурой, называется галилеевым пространством. [c.13] Можно говорить о двух событиях, происходящих одновременно в разных местах, однако утверждение два разновременных события а, Ъ происходили в одном и том же месте трехмерного пространстве не имеет смысла, пока мы не выбрали систему координат. [c.13] ЭТОЙ группы называются галилеевыми преобразованиями. Таким образом, галилеевы преобразования являются аффинными преобразованиями А, сохраняющими интервалы времени и расстояния между одновременными событиями. [c.14] Пример. Рассмотрим прямое произведение ) К X К оси i на трехмерное линейное пространство К с фиксированной евклидовой структурой. Такое пространство имеет естественную галилееву структуру. Это пространство мы будем называть координатным галилеевым пространством. [c.14] Задача. Докажите, что каждое галилеево преобразование пространства К X К можно представить в виде произведения поворота, сдвига и равномерного движения ( = ёх ёг ёз) и притом единственным образом (так что размерность галилеевой группы равна 3 -Ь 4 -Ь 3 = 10). [c.14] Задача. Докажите, что все галилеевы пространства изоморфны друг другу ) и, в частности, изоморфны координатному пространст у К X К . [c.14] Пусть М — множество. Взаимно однозначное отображение Ф1 М К X К называется галилеевой системой координат в множестве М. Система координат фа равномерно движется относительно системы координат фц если фх-фг К X К К X X К — галилеево преобразование. Галилеевы системы координат Ф1 и ф2 задают в М одинаковую галилееву структуру. [c.14] Движение, скорость, ускорение. Движением в называется дифференцируемое отображение х 1 интервала I вещественной оси в К . [c.14] Мы будем считать, что встречающиеся нам функции непрерывно дифференцируемы нужное число раз. В дальнейшем, если не оговорено противное, под отображениями, функциями и т. п. понимаются дифференцируемые отображения, функции и т. д. Образ отображения 5с / - - называется траекторией или кривой в К . [c.15] Определим теперь, что такое механическая система из п точек, движущихся в трехмерном евклидовом пространстве. [c.15] Пусть ж К К — движение в К . График ) этого отображения является кривой в К X К . [c.15] Кривая в галилеевом пространстве, являющаяся в какой-нибудь (и тогда любой) галилеевой системе координат графиком движения, называется мировой линией (рис. 4). [c.15] Движение системы из п точек задается в галилеевом пространстве п мировыми линиями. В галилеевой системе координат они описываются п отображениями К — К , г = 1,. . ., п. [c.15] Пример 1. Среди галилеевых преобразований имеется сдвиг по времени. Инвариантность относительно сдвигов по времени означает, что законы природы остаются постоянными , т. е. если ас = ф ( ) — решение уравнения (1), то для всякого е К решением будет также ас = р ( + ). [c.17] Замечание. Дифференциальные уравнения, правые части которых зависят от времени, встречаются в следующей ситуации. [c.17] Вернуться к основной статье