ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Простейшие свойства решений системы из "Качественная теория динамических систем второго порядка " Последние равенства показывают, что функции (2) являются решением системы (I). Тот факт, что это решение определено на интервале (т — С, Т — С), устанавливается простым рассуждением, которое мы опускаем. Лемма доказана. [c.22] С точки зрения геометрической интерпретации в трехмерном пространстве утверждение леммы 1 означает, что линия, получающаяся из любой интегральной кривой путем сдвига ее вдоль оси I на любой отрезок, также есть интегральная кривая. [c.22] В дальнейшем, рассматривая наряду с решением (1) решение (2), мы будем часто говорить, что рассматриваются решения, отличающиеся выбором начального значения t. [c.23] В дальнейшем решение системы (I), соответствующее начальным значениям о уа, мы всегда будем записывать в виде (6). [c.24] ЯВЛЯЮТСЯ решениями, соответствующими одним и тем же начальным значениям i, х , у . Но тогда эти решения совпадают, т. е. имеют место равенства (10). [c.24] Справедливость этой леммы непосредственно вытекает из теоремы В и В дополнения, 8. [c.24] Будем в каждой точке М х, у) области С плоскости х, у) рассматривать вектор V с компонентами Р (х, у), Q х, у). Динамическая система (I) определяет, таким образом, в области 6 векторное поле ). [c.25] В силу того, что Р (а , у) и Q х, у) по предполо кспию имеют непрерывные частные производные, векторное поле, определяемое системой (1), является так называемым непрерывно дифференцируемым векторным полем. [c.25] Уравнения (11), очевидно, являются параметрическими уравнениями траектории. Обратно, если дана какая-нибудь траектория, то решение, которому она соответствует, мы будем называть решением, соответствующим данной траектории. [c.25] Но вектор с компонентами ф (i), ф ( )i очевидно, является касательным вектором к траектории, и в силу равенств (12) он совпадает с вектором поля, заданного системой (I). [c.26] В дальнейшем для точек х, у области G, для которых Р х, у) О, Q х, у) = О, в основном будет использоваться термин состояние равновесия (а не особая точка). [c.26] Состояние равновесия М (а, Ь) системы (I) называется изолированным, если существует Eq О такое, что в ео-окрестности кроме М не лежит уже более ни одного состояния равновесия. [c.26] Лемма 6. Всяким двум решениям, отличающимся только выбором начального значения i , соответствует одна и та же траектория. [c.26] Теорема 3. Через каждую точку области С проходит одна и только одна траектория динамической системы (1). [c.27] очевидно, и означает, что через точку Хд, уо проходит хотя бы одна траектория . [c.27] Предположим теперь, что через одну и ту же точку Мо (жо Уо) области С проходят две различные траектории Ь и Ь. [c.27] Замечание 1. Из проведенного в теореме рассуждения непосредственно вытекает, что всякие два различных решения, соответствующих одной и той же траектории, получаются друг из друга заменой на + С, т. е. отличаются друг от друга только выбором начального значения 0 (см. лемму 2). [c.27] Замечание 2. Пусть при каком-либо выборе решения, соответствующего траектории Ь, точке этой траектории соответствует значение 07 а точке М1 — значение о + т-- Тогда из замечания 1 следует, что если при некотором другом выборе решения, соответствующего траектории Ь, точке Ма соответствует значение , то значению т соответствует точка М . [c.27] Замечание 3. Если траектория целиком лежит в ограниченной замкнутой области Су сз С, то в силу теоремы 2 соответствующее ей решение определено при всех значениях I (— оо с / 4- оо). [c.27] Вернуться к основной статье