ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обобщенные интегралы типа Коши из "Пространственные задачи теории упругости " Формулы (30.46)—(30.47) справедливы и для многосвязных областей, а первая из них и для областей, пересекающих ось симметрии. [c.277] Здесь обе точки ti и или одна из них могут принадлежать соответствующему берегу разреза, проведенного вдоль Ь постоянная не зависит от i. [c.278] Поскольку j) (i, а)= О, то точку а можно рассматривать как внутреннюю точку контура L, продлив контур и за а отрезком касательной и положив там = 0. Тогда для окрестности этой точки будет справедливо неравенство (31.5). [c.279] Здесь а — угол поворота касательной в точке т,, если точка То не совпадает с угловой точкой, то а = я ([94], Добавление II). [c.279] Здесь tx TL t i — значения t, при которых функции ip ,(i, т) принадлежат классу Я функции Ф 1, t ) имеют тот же смысл, что и в (31.6) во втором из неравенств t принадлежит окрестности точек Ь, включая саму эту точку постоянные в (31.8) не зависят от t. [c.279] Здесь использованы формулы (29.22) и учтено, что (2 — г)/ро - соз(л — ао/2), где а , — угол поворота касательной в точке а. [c.280] Граничные значения Ф (хо) удовлетворяют условию когда точка То отлична от концов L. [c.281] Когда контур L в окрестности а гладкий, то ао = я и формула (31.136) переходит в (31.13). [c.282] Хотя наши рассуждения строились для Im i О, их легко обобщить на произвольные значения t при помощи условий четности (27.18). [c.282] Если I не находится вблизи узлов, то все полученные выше результаты остаются в силе. [c.283] Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что неравенство (31.19) справедливо и для дФ дг. [c.286] Из (31.24) видно, что если Р х) принадлежит классу Я( х), то существуют граничные значения производной Ф (То) на контуре Ь, кроме его концов, причем эти граничные значения также принадлежат классу Я(ц.). [c.287] Ввиду непрерывности Ф( ) и Ф ( ) это равенство справедливо и для точек контура Ь. Дальнейшие рассуждения ничем не отличаются от аналогичных рассунодений для аналитических функций ([59], 4.4). [c.287] Пусть Ф(То)— значение обобщенного интеграла типа Коши на линии интегрирования (см. (31.12)), причем Р х), (т) и (т) удовлетворяют условию четности и условию Я( х).Тогда при помощи аналога формулы Сохоцкого — Племеля (31.13) легко убедиться, что Ф(То) принадлежит классу Щц) на любой части контура Ь, не содержащей его концов Ь л Ь. [c.287] Из (31.28) и (31.29) видно, что производная dФldXo непрерывна везде на Ь . Она принадлежит классу Я(ц.), если угол 6(т) удовлетворяет условию Я(ц. fx). [c.288] Полученные выше результаты легко обобщаются на случай, когда L состоит из нескольких дуг и контуров, а F x) принадлежит классу Я с узлами, не лежащими на оси симметрии. [c.288] Вернуться к основной статье