ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вырождение контактной структуры из "Теория бифуркаций " Интегральные кривые на медленной поверхности образуют в окрестности изучаемой точки гладкое семейство, и их можно задать как семейство линий уровня некоторой функции, Ф(х, 2) = onst. Линии эти в точках складки касаются ядра складывания, т. е. направления оси х. Значит, функцию Ф можно, не меняя ни медленной поверхности, ни семейства линий уровня, привести к виду z+x A (х, z). [c.181] Заменяя медленную переменную z на функцию от z и у=х , мы осуществляем не меняющий медленной поверхности расслоенный диффеоморфизм (у — медленная переменная). Таким перевыбором z мы можем уничтожить в А всю четную по х часть. Мы привели Ф к виду z+x B(x , г). [c.181] Рассмотрим теперь, наряду с семейством линий Ф = onst, его образ при инволюции, меняющей знак х. В точках складки (x=0) линии обоих семейств касаются друг друга, причем порядок касания четен (как касания прямой и параболы нечетной степени). Если в изучаемой точке 6= 0, то порядок касания второй. [c.181] Легко проверить, что именно в этом состоит условие невырожденности (контактности) поля плоскостей, следы которого на медленной поверхности определяют наши интегральные кривые. [c.181] Наконец, слагаемое с Е можно полностью уничтожить, ком.би-нируя С -диффеоморфизм плоскости (х, z), коммутирующий с меняющей знак х инволюцией, с С — изменением нумерации кривых (параметра с). [c.182] Для этого нужно сначала рассмотреть линию, где интеграль-. ные кривые касаются своих образов при инволюции. Эта линия (симметричная относительно оси л =0), кроме оси л ==0, содержит кривую, похожую на параболу 2 = — +. .. (рис. 67). [c.182] На этой кривой имеются две инволюции одна представляет х и —X, другая — две точки на одной интегральной кривой. Различие между обеими инволюциями порядка х . [c.182] Такая пара инволюций (единым) локальным С -диффеомор-физмом кривой приводится к нормальной форме (например одна к х 1- - —X, другая к х х, где x -j-x =x +х Дюфур [140]). В аналитическом случае такая пара инволюций, несмотря на простую формальную нормальную форму, имеет функциональные модули (С. М. Воронин [56]). [c.182] Выберем координату х на кривой касания так, чтобы нормализовать обе инволюции. Будем нумеровать этой координатой и касающуюся в этой точке своего образа при инволюции интегральную кривую. Полученная нумерация позволяет сопоставить друг другу интегральные кривые семейств с ЕфО и с Е= =0 (те, которые касаются отраженных). [c.182] Точке пересечения интегральной кривой семейства с ЕфО с номером Xi и отраженной кривой с номером Х2 сопоставим (топологически аналогичную) точку пересечения кривых с такими же номерами для стандартного семейства ( =0). Полученное соответствие продолжается до диффеоморфизма, коммутирующего с инволюцией и отображающего семейство линий с ЕфО на стандартное семейство. [c.182] Поднимем каждую проекцию на свой уровень с. Получаем поверхность в трехмерном пространстве с координатами у, z, с). [c.182] В этом пространстве выбираем новые координаты г—с=и, y = v, z- -y=—w. Уравнение поверхности теперь u — v w . [c.182] Если зафиксировать значение — q, то на полученной плоской кривой u- v + w=—Со- Отсюда у=Ц, z=u + =—и—w. Поэтому семейство проекций интегральных кривых на плоскость медленных переменных (у, z) локально диффеоморфно семейству проекций плоских сечений w+t +ziy= onst сложенного зонтика v = v w на плоскость (v, w) вдоль оси w. [c.182] Вернуться к основной статье