ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Семейства и деформации из "Теория бифуркаций " Глава 4. Релаксационные колебания. [c.8] Слово бифуркация означает раздвоение и употребляется как название любого скачкообразного изменения, происходящего при плавном изменении параметров в любой системе динамической, экологической и т. д. Наш обзор посвящен бифуркациям фазовых портретов дифференциальных уравнений — не только бифуркациям положений равновесия и предельных циклов, но перестройкам системы в целом и, прежде всего, ее инвариантных множеств и аттракторов. Такая постановка проблемы восходит к А. А. Андронову. [c.9] Связи с теорией бифуркаций пронизывают все естествознание. Дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические системы, всегда содержат параметры, точные значения которых, как правило, неизвестны. Если уравнение, моделирующее физическую систему, оказывается структурно неустойчивым, то есть поведение его решений может качественно измениться при сколь угодно малом изменении правой части, то необходимо понять, какие бифуркации фазового портрета происходят при изменении параметров. [c.9] Часто модельные системы оказываются настолько громоздкими, что не допускают содержательного исследования, прежде всего из-за обилия входящих в них переменных. При изучении таких систем часть переменных, мало меняющихся в ходе процесса, как правило, полагают постоянными. В результате получается система с меньшим количеством переменных, которая и исследуется. Однако учесть влияние отброшенных членов в исходной модели, рассматриваемой индивидуально , зачастую невозможно. В этом случае отброшенные члены можно рассматривать как типичные возмущения, и описывать исходную модель средствами теории бифуркаций. [c.9] К теории бифуркаций, в которой параметры не меняются с течением времени, тесно примыкает теория релаксационных колебаний, изучающая семейства, в которых параметры с течением времени медленно меняются (эти параметры называются медленными переменными ), В быстро-медленн 1е системы теории релаксационных колебаний входит параметр медленности— характерная скорость изменения медленных переменных. При нулевом значении этого параметра быстро-медленная система превращается в семейство, изучаемое в теории бифуркаций при ненулевом возникают специфические явления, иногда называемые динамическими бифуркациями . [c.10] В обзоре систематически используется связь теории бифуркаций с теорией особенностей. Решение многих, в основном, локальных, проблем теории бифуркаций состоит в том, чтобы предъявить и исследовать так называемое главное семейство — своего рода топологическую нормальную форму для семейств исследуемого класса. Теория особенностей позволяет угадать и частично исследовать главные семейства. Она описывает также бифуркации положений равновесия, особенности медленной поверхности, медленные движения в теории релаксационных колебаний и т. д. [c.10] Отметим также, что для нелокальной теории бифуркаций оказываются особенно полезными конечногладкие нормальные формы локальных семейств дифференциальных уравнений. Эти нормальные формы значительно упрощают отыскание и исследование бифуркаций, а также обоснование и исследование полученных результатов. С другой стороны, нелокальная теория бифуркаций позволяет выделить задачи теории нормальных форм, важные для приложений. На наш взгляд, связь между теорией нормальных форм и нелокальной теорией бифуркаций в настоящее время используется недостаточно. [c.10] Наш обзор, естественно, является неполным. Мы не включили в него, сравнительно немногочисленные, работы о локальных бифуркациях в трехпараметрических семействах и о нелокальных бифуркациях в двупараметрических семействах некоторые ссылки даны в списке литературы. В описании нелокальных бифуркаций мы ограничились только теми, которые происходят на границе множества систем Морса—Смейла. Теория таких бифуркаций в значительной части завершена, хотя и недостаточно широко известна посвященные ей работы математиков Горьковской школы зачастую публиковались в труднодоступных источниках. Не исследована та часть границы множества систем Морса—Смейла, на которой возникает счетное множество неблуждающих траекторий этой проблеме посвящен 7 гла-чы 3. Для сохранения единства стиля мы формулируем известные результаты зачастую не в том виде, как в первоисточниках. [c.11] Арнольдом, 3, кроме п. 3.7, Ю. С. Ильяшенко. Пункт 3.7 главы 4 написан Н. X. Розовым, 4 — А. И. Нейштадтом, 5 — А. К- Звонкиным. Авто ры приносят им свою искреннюю благодарность. Список литературы не претендует на полноту. При его составлении мы исходили из тех же принципов, что и в обзоре [26] в частности, использовалась система двойных ссылок — [а Ь] или [а, стр. Ь]. Первое обозначает работу [Ь] из списка литературы в [а], второе—работу, цитированную в [а] на стр. [6]. Знак указывает конец некоторых формулировок. [c.11] Теория бифуркаций динамических систем описывает качественные, скачкообразные изменения фазовых портретов дифференциальных уравнений при непрерывном, плавном изменении параметров. Так, при потере устойчивости особой точкой может возникнуть предельный цикл, а при потере устойчивости предельным циклом — хаос. Такого рода изменения называются бифуркациями. [c.12] В этой и следующей главах рассматриваются только локальные бифуркации, то есть бифуркации фазовых портретов вблизи особых точек и предельных циклов. [c.12] Типичная бифуркация симметричного положения равновесия в такой системе ( трезубец ) изображена на рис. I (v = =х(е—х )). Она состоит в том, что от теряющего устойчивость симметричного положения равновесия ответвляется два новых, менее симметричных, положения равновесия. При этом симметричное положение равновесия сохраняется, но теряет устойчивость. [c.12] Вырожденные случаи неустранимы малым шевелением, если рассматривается не индивидуальное уравнение, а семейство уравнений. Поэтому при исследовании вырожденного случая основную ценность представляет не изучение индивидуального вырожденного уравнения, а анализ бифуркаций в семействах общего положения, в которых подобное вырождение встречается неустранимым образом. Технически это исследование проводится с помощью построения специальных — так называемых нереальных — деформаций, в некотором смысле содержащих все остальные. [c.13] В этом параграфе формулируются теоремы трансверсальности и принцип сведения , позволяющий понижать размерность фазового пространства за счет своего рода отбрасывания несущественных (гиперболических) переменных. [c.13] Вернуться к основной статье