ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теория функций комплексного переменного из "Технический справочник железнодорожника Том 1 " Правила действия над абсолютно сходящимися рядами с действительными членами распространяются и на тот случай, когда члены ряда комплексные. [c.213] Ряд сходится абсолютно во всякой точке внутри круга сходимости и равномерно (стр. 159) во всякой области, лежащей целиком внутри круга сходимости. [c.213] Показательная и тригонометрические функции определяются при помощи рядов, сходящихся во всей плоскости комплексного аргумента г (см. стр. 161). [c.213] Соотношения между показательной, тригонометрическими и гиперболическими функциями, а также между логарифмической, обратными тригонометрическими и обратными гиперболическими функциями приведены на стр. 126 Эти соотношения справедливы для любых комплексных значений аргумента. [c.213] Условия Коши—Римана выполнены. [c.213] Формулы для диференцирования элементарных функций — те же, что и в случае действительного аргумента. [c.213] Функция, диференцируемая во всех точках некоторой области, называется аналитической ватой области. Производная любого порядка от аналитической функции также является функцией аналитической. Сумма степенного ряда является аналитической функцией внутри круга сходимости. Действительная часть и(х,у) и мнимая часть V (х, у) функции, аналитической в некоторой области, являются в этой области гармоническими функциями (стр. 176 и 212). [c.213] Если существует такая окрестность точки а (т. е. область, для которой эта точка является внутренней), в которой функция /(г) — аналитическая, то функция /(z) называется аналитической в точке а, а точка а — правильной точкой функции /(z) в противном случае точка а называется особой точкой функции /(2). [c.213] Если функция /(2) — аналитическая в некоторой области, то точки, в которых значение l/(z) наибольшее (по сравнению со значениями f (z) в остальных точках области), находятся на границе этой области (принцип максимума модуля). [c.214] Радиус р круга сходимости определяется по формуле (2) (стр. 213) и равен расстоянию точки а до ближайшей особой точки функции f (2). [c.215] Если а — изолированная особая точка функции /(2) (т. е. если в некоторой окрестности точки а нет других особых точек этой функции), то / (г) можно разложить в ряд Лораиа, сходящийся во всех точках внутри некоторого круга с центром в точке а, кроме самой точки а (разложение функции в окрестности изолированной особой точки). [c.215] Радиус этого круга равен расстоянию точки а до ближайшей к ней особой точки функции /(2), а коэфициенты ряда вычисляются по формулам (3), где Г — любой замкнутый контур, лежащий внутри круга сходимости и окружающий точку а. [c.215] Коэфициенты этого ряда вычисляются по формулам (3), где Г —любой контур, со.чер-жащий окружность 2 = / . [c.215] Изолированная особая точка 2 = а функции / (2) называется полюсом, если главная часть разложения /(2) в ряд Лораиа в окрестности этой точки содержит лишь конечное число отличных от нуля членов в противном случае точка г = а называется существенно особой точкой. [c.215] Если т = 1, полюс называется п р о-стьпм если m 1, полюс — к р а i и ы й число т — порядок полюса. [c.216] В сколь угодно малой окрестности существенно особой точки функция / (z) принимает значения, сколь угодно близкие к любп.му числу (теорема Вейер-ш т р а с с а). [c.216] В случае, когда не только каждой точке области й соответствует определённая точка области О, но и, обратно, каждой точке области О соответствует единственная точка области , отображение называется в з а и м-н о - о д н о 3 н а ч н ы м. [c.216] НИЯ 1 Ли о I между точкал1и и WQ -(-плоскости IV к расстоянию 1 Дго 1 между соответствующими точками и + Д о плоскости 2 (фиг. 293), когда Д2о 0. [c.217] а мнимая ось Оу с мнимой осью Ov). [c.218] Вернуться к основной статье