ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Модели и алгоритмы геометрического проектирования из "Основы теории и проектирования САПР " Геометрические фигуры можно описать различными способами совокупностью уравнений линий и поверхностей, алгебрологическими соотношениями, графами, списками, таблицами, описаниями на специальных графических языках и др. Конкретные требования к геометрическим моделям определяются задачами геометрического проектирования (обычно конструкторского или технологического характера), для решения которых модели предназначены. Многие геометрические модели, применяемые для синтеза и анализа геометрических объектов, можно непосредственно использовать для получения графических изображений с помощью средств машинной графики. [c.242] Геометрические модели. Любой геометрический объект можно представить совокупностью конечного количества базовых геометрических фигур, связанных между собой определенными геометрическими отношениями. Базовая геометрическая фигура — это фигура, рассматриваемая для данного геометрического объекта как неделимая составная часть с известными геометрическими параметрами, например модель микросхемы в форме прямоугольника в задачах размещения микросхем на печатной плате. С точки зрения геометрии любая базовая геометрическая фигура отображается с помощью следующих геометрических элементов точки прямой или отрезка прямой кривой линии или ее части плоскости многоугольника части плоскости, ограниченной кривой линией многогранника криволинейной поверхности объемной фигуры произвольной формы. [c.242] Для отражения многообразных свойств геометрических объектов (размеры, форма, положение в пространстве и др.) применяются геометрические модели структурные рецепторные аналитические каркасные составные. [c.242] Рецепторные геометрические модели описывают геометрический объект в пространстве рецепторов. Область рецепторов получается с помощью множества сечений объекта, перпендикулярных координатным осям, В координатных плоскостях получается прямоугольная решетка, каждая клетка которой рассматривается как отдельный рецептор, который может иметь состояние О или 1 . Рецептор считается возбужденным (значение 1 ), если он включается в контур плоской или пространственной области объекта. Плоский или пространственный геометрический объект можно описать двухмерной или трехмерной матрицей, состоящей из нулей и единиц. Рецепторные модели могут описывать любые геометрические объекты, точность описания определяется количеством рецепторов. В то же время эти модели требуют больщих затрат памяти на их обработку. Пример рецепторной модели — дискретное рабочее поле монтажного пространства печатных плат или интегральных схем, покрытое системой соединений, в задачах трассировки соединений. [c.243] Аналитические геометрические модели наиболее компактны и представляют собой описание ограничивающих контуров или поверхностей геометрической фигуры аналитическими уравнениями в полярной или прямоугольной системе координат. [c.243] Рассмотрим способы описания плоских кривых в координатах XY. Простейшим способом является явная форма описания y=f(x). Она удобна для отображения кривы.х, но непригодна для проведения аналитических преобразований в случае, когда функция неоднозначна (например, окружность радиусом а с центром в начале координат y Va — x ) или когда кривая имеет вертикальные касательные (например, прямая, параллельная оси К, не имеет явного представления, так как производная dfldx=oo). Поэтому при геометрическом моделировании явная форма описания практически не применяется. [c.243] Аналитические модели широко применяются при подготовке управляющих программ для станков с ЧПУ, при проектировании геометрических объектов сложной формы (корпусов судов, самолетов, автомобилей и т. п.), при раскрое материалов и др. Примером могут служить геометрические модели контуров операционных эскизов при проектировании технологических процессов для механической обработки деталей на токарных станках с ЧПУ. [c.245] Каркасные (кииематические) геометрические модели применяются для описания объемных фигур. Первый способ получения каркасных моделей подразумевает, что поверхность образуется непрерывным перемещением линии, называемой образующей, в пространстве по некоторому закону. Образующая при движении пересекает ряд неподвижных линий, называемых направляющими. Наряду с пересечением могут использоваться условия параллельности, касания и другие отношения образующих с направляющими. Множество точек или линий, определяющих поверхность и принадлежащих ей, называется каркасом. Непрерывному движению точки по поверхности фигуры соответствует непрерывное множество линий каркаса. В памяти ЭВМ при отображении поверхности на выводных графических устройствах она задается некоторым конечным количеством линий, называемых дискретным каркасом поверхности (скелетной моделью поверхности). На рис. 9.14 показан процесс получения каркасной поверхности. [c.245] Образующая задана уравнением г=г(м) в координатах ZX и движется вдоль направляющих, которыми являются прямые линии, параллельные плоскости YX. Для фиксированных значений параметров и и и показана дискретная каркасная модель поверхности ( U —сетка). Если образующая является прямой линией, получается класс поверхностей, называемых линейчатыми. [c.246] Некоторые классы поверхностей могут быть заданы только дискретным каркасом поверхности (например, топографическая поверхность). В этом случае для получения непрерывной каркасной модели следует провести аппроксимацию поверхности соответствующими уравнениями. Вместе с тем дискретные каркасные модели нащли применение для решения многих задач геометрического проектирования. Они часто используются для выполнения механических расчетов элементов конструкции (модели стойки и печатной платы на рис. 7.38). [c.246] Второй способ получения каркасных моделей основан на понятии определителя поверхности. Совокупность условий, определяющих каркасную модель поверхности, называется определителем поверхности. Различают геометрическую и алгоритмическую части определителя. Геометрическая часть включает некоторое множество фигур, сохраняющих положение, форму и размеры. Алгоритмическая часть определителя представляет алгоритм построения точек и линий поверхности, занимающих на ней переменное положение. Например, сфера может быть образована вращением окружности около прямой, проходящей через ее центр. В геометрическую часть определителя войдет уравнение окружности, в алгоритмическую — закон перемещения фигуры, в данном случае вращения окружности вокруг прямой, проходящей через ее центр. Перемещением окружности вдоль прямой линии можно получить цилиндр, при этом изменится только алгоритмическая часть определителя. [c.246] Частный случай каркасных моделей — модели поверхностей вращения, в которых поверхность получается в результате вращения плоской кривой вокруг оси симметрии. Ось симметрии обычно совмещается с осью Z. Эллипсоид вращения образуется в результате вращения эллипса (x=asinu, z—b os и) вокруг оси Z. Параметрические уравнения эллипсоида имеют следующий вид х= — asinu osiut, t/=sin м sin (OI, z=b os и, где м — круговая частота, t — время. [c.246] Таким образом, при построении каркасных моделей геометрических объектов используются аналитические модели линий и поверхностей, выраженные в форме параметрических уравнений. [c.247] Составные геометрические модели являются универсальными моделями сложных объемных фигур. Рассмотренные выше модели для отображения графической информации — частный случай таких моделей. Геометрический объект представляется замкнутым точечным множеством, причем множество граничных точек геометрической модели образует поверхность, а множество внутренних точек — тело. Поверхность геометрического объекта представляется состоящей из нескольких граней Gi, являющихся отсеками поверхностей (плоскостей или поверхностей более высокого порядка). Границы грани задаются совокупностью ребер Rj, проходящих через множество вершин Vh геометрического объекта в порядке обхода грани. Если ребра и поверхности линейны, получится кусочно-линейная модель, в данном случае многогранник. Такое представление поверхности используется в большинстве составных геометрических моделей, так как значительно упрощает решение многих геометрических задач (напри.мер, проведение сечений, определение взаимного пересечения нескольких тел и др.). [c.247] Описание модели состоит из двух частей координат вершин Vh x, у, г) и топологии их соединения, заданной набором граней Gi или граничных контуров Ni в порядке их обхода. На основе таких моделей легко получать базовые геометрические фигуры и составлять из них более сложные геометрические объекты. Каждая г-я базовая фигура описывается в собственной системе координат XiYiZi, одна из вершин фигуры помещается в начало координат и называется полюсом. Координаты остальных вершин рассчитываются относительно полюса. Составная геометрическая модель сложной фигуры задается в основной системе координат XYZ. Положение системы координат каждой t-й базовой фигуры определяется координатами полюса (xoi, уог, Zoi) и углами поворота (а,-, р,-, у ) между осями собственной и основной системы координат (рис. 9.15). Координаты вершин базовой фигуры в основной системе координат определяются умножением на соответствующие матрицы преобразования (в данном случае матрицы переноса и поворота). Полученные параметры фигуры называются параметрами положения. Параметры, которые характеризуют форму базовой фигуры в собственной системе координат (длина отрезков, взаимное расположение граней и т. п.), называются параметрами формы. При построении составных моделей геометрических объектов используются структурные модели в виде различных графов. [c.247] Составные модели применяются для решения задач размещения и компоновки геометрических объектов на плоскости и в пространстве, в системах моделирования трехмерных объектов и др. [c.247] Геометрическое проектирование на плоскости. Задачи геометри-шского проектчрочания на плоскости делятся на группы, связанные с анализом 1) формы плоских фигур и кривых линий 2) взаимного положения произвольных фигур на плоскости. К задачам первой группы относятся расчет профилей ра.зличных деталей при подготовке управляющих программ для станков с ЧПУ выбор оптимальной формы объемного объекта, заданного своими сечениями и р. К задачам второй группы относятся оптимальное размещение заданных плоских фигур в определенной области оптимальный раскрой материала формирование и оформление конструкторских чертежей и др. [c.248] Методы решения задач второй группы можно разделить на точные и приближенные. Точные методы основаны на переборе всех возможных вариантов размещения плоских фигур в некоторой области и ограничены решением задач невысокой размерности. Приближенные методы, в свою очередь, делятся на последовательные и итерационные. В гл. 7 рассмотрены особенности этих алгоритмов для решения задач размещения микросхем и радиоэлементов на печатной плате и фрагментов БИС на кристалле. Следует выделить задачи компоновки цилиндрических фигур, плоскости оснований которых перпендикулярны осям цилиндров (зубчатые механизмы, цеха химических производств и др.). Решение этих задач сводится к взаимосвязанному размещению на плоскости совокупности окружностей различного диаметра (в случае зубчатых колес с возможностью пересечений) и совокупности различных прямоугольников. Критерием оптимальности является минимум площади геометрической фигуры, описывающей все размещаемые элементы. В данном случае также применяются алгоритмы последовательного и итерационного типа. [c.250] Методы решения задач первой г р у п п ы основаны на использовании дискретных каркасных моделей поверхностей, в которых поверхность представляется иу-сеткой из конечного количества кусков (порций). Каждая точка поверхности в параметрическом виде р[и, о)=[л (ы, V), у(и, V), г и, и)]. [c.250] В общем случае границы куска описываются кривыми линиями, а поверхность куска — аналитической функцией, построенной с учетом непрерывности поверхности на границах куска и постоянства изменения кривизны поверхности. Способы описания поверхностей делятся на глобальные, для которых любое изменение в пределах куска влияет на всю поверхность в целом локальные, для которых изменения формы поверхности куска затрагивают только непосредственно примыкающие части общей поверхности (обычно используются В-сплайны), Разработано несколько систем геометрического моделирования со средствами обработки поверхностей [1]. [c.250] Вернуться к основной статье