ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О механической аналогии с маятником в потоке среды из "Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твердого тела " Кратко проанализируем задачу о физическом маятнике в потоке набегающей среды, принадлежащую Б. Я. Локшину, В.А. Привалову и В.А. Самсонову [112]. Данная задача позволит обнаружить качественные аналогии. [c.162] Таким образом, сила S направлена по нормали к пластине в ту сторону от нее, которая противоположна направлению скорости Уд, и проходит через некоторую точку N пластины, смещенную от точки D вперед по отношению к направлению вектора. [c.163] Здесь Y - класс функций у , описанный во введении (см. (0.4)). Нетрудно убедиться, что произведение F(a)=j (a)5 (a) удовлетворяет условию (0.8). [c.163] Глава 4. Семейства портретов и интегрируемые случай систем... [c.164] Таким образом, уравнение (4.4) эквивалентно уравнению (4.3), если положить а=д+7т . При этом изменение во времени мгновенного угла атаки а свободного тела и угла поворота маятника, помещенного в поток среды, подчиняется одинаковым законам. [c.164] Можно показать, что даже если условие (0.9) не выполнено, то полученная механическая аналогия имеет место для любых функций F, удовлетворяющих условию (0.8). [c.164] Фазовый портрет уравнения (4.4) изображен на ил. 1, при этом вместо О следует принять а. Динамическая система, заданная уравнением (4.4), относительно структурно устойчива (относительно груба) ио отношению к классу функций Ф (см. главу 3). [c.165] В данном параграфе проведем глобальный качественный анализ динамической системы (1.17) при условии (0.8) на всей фазовой плоскости 72 а,О . Для любой функции FeФ фазовый портрет системы (1.17) имеет один и тот же топологический тип. [c.165] В главе 2 (следствие из леммы 2.6) показано, что вокруг точек (А я,0), А е2, (как в полосе П, так и в полосе П ) не существует замкнутой характеристики векторного поля системы (1.17), т.е. не существует простых и сложных предельных циклов. В силу наличия двух видов симметрий, на фазовой плоскости системы (1.17) вообще не существуют замкнутые характеристики, стягиваемые по фазовому цилиндру в точку. [c.165] Глава 4. Семейства портретов и интегрируемые случаи систем... [c.166] При 4 F (0)-4 0 рассмотренные точки являются фокусами, при 4 (0)-4 0 - узлами, а при A F(0) 4 2 = = 0 — вырожденными узлами. [c.166] Такая точка для любого г является точкой гиперболического типа - седлом, которое обладает сепаратрисами. В силу наличия двух видов симметрий, достаточно разобрать поведение сепаратрис, входящих (выходящих) в седла (из седел) 5 1 и 5 о в полосе П. [c.166] Поведение сепаратрисы, выходящей из точки 5 1 в полосу П (так же как и сепаратрисы, выходящей из точки Бо в полосу П), определяет глобальное поведение всех траекторий системы (1.17). Эту сепаратрису назовем ключевой. [c.166] Доказательство можно провести методом систем сравнения (см. главу 2). [c.166] Следствия. 1) Сепаратриса, входягцая в точку в полосе П, имеет в качестве а -предельного множества начало координат. [c.167] Глава 4. Семейства портретов и интегрируемые случаи систем... [c.168] Иначе обстоит дело с областью, сплошь заполненной вращательными движениями. [c.168] Как показала в своей дипломной работе В. В. Журавлева (1988 г.), существует гладкая функция, являющаяся плотностью инвариантной меры в области, сплошь заполненной периодическими траекториями, не стягиваемыми по фазовому цилиндру в точку. [c.168] В связи с проведенным глобальным качественным анализом системы (1.17) сделаем важный вывод, а именно, векторные поля систем вида (1.17) при условии (0.8) топологически эквивалентны между собой (см. главу 3). [c.168] Вернуться к основной статье