ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Кручение цилиндрических стержней из "Механика сплошной среды. Т.2 " Рассмотрим задачу о кручении цилиндрического стержня-балки. Кручение возникает в том случае, когда момент, действующий в концевом сечении балки, не лежит в плоскости поперечного сечения. В условиях кручения работает множество частей различных мапшн, в частности, валы гидротурбин и всевозможных (автомобильных, самолетных, пароходных и других) двигателей. Инженеров обычно интересует, какой максимальный момент может воспринять данный вал, каково максимальное значение напряжений, каков угол закручивания при заданном моменте и т. п. [c.356] Система (7.1) при условии Т = Тп получится замкнутой, если к ней добавить закон Гука и уравнения совместности деформаций или уравнения Бельтра-ми — Мичелла. [c.356] Выберем декартову систему координат, как показано на рис. 121. [c.356] Стальные круглые валы современных сверхмощных гидротурбин имеют диаметр около двух метров. [c.356] Если мы получим решение, соответствующее какому-нибудь распределению напряжений по торцам и 2 а, удовлетворяющему условиям (7.3), то по принципу Сен-Венана это решение будет приближенно описывать напряженно-деформированное состояние в стержне при любом другом распределении сил по торцам, если только эти силы приводятся к паре с тем же моментом. [c.357] Решение поставленной выше задачи было дано уже около ста лет назад Сен-Вена-ном. При этом он применил полуобратный метод, которым мы здесь воспользуемся. [c.357] Нетрудно понять, что если в балке происходят перемещения вида (7.4), то первоначально плоские сечения, перпендикулярные к оси Z, поворачиваются около этой оси на угол az, и, кроме того, искривляются, так что плоскости z — Zq переходят в поверхности z = Zq - -а/(а , у). Таким образом, угол поворота каждого поперечного сечения пропорционален расстоянию этого сечения от начала координат, а а представляет собой угол закручивания на единицу длины балки. [c.357] Отметим, что функция / определяется чисто геометрически и одинакова для всех стержней, сделанных из разных изотропных материалов, но имеющих одно и то же поперечное сечение. Функцию / часто называют функцией кручения. [c.359] Так как напряжения, вычисляемые по формулам (7.6), не зависят от з и, в частности, одинаковы в сечениях и то векторы напряжений р на торцах Ез и отличаются только знаками. [c.359] Поэтому ясно, что если граничные условия на Ез удовлетворены, то граничные условия на Е1 также удовлетворены. [c.359] Угол закручивания пропорционален моменту М и обратно пропорционален модулю сдвига ц. Величину, стоящую в знаменателе (7.12), называют жесткостью при кручении. [c.360] Таким образом, решение рассматриваемой задачи о кручении цилиндрического стержня сводится к решению задачи Неймана для функции / х, у). [c.360] Отсюда, в частности, видно, что при кручении круглых валов плоские поперечные сечения остаются плоскими. Каждое сечение поворачивается относительно оси как твердый диск, но различные сечения поворачиваются на разные углы, пропорциональные координате г, когда сечение г = 0 закреплено. [c.360] Если величина допустимых касательных напряжений в стержне известна и задано значение крутящего момента М, то отсюда можно определить величину минимального допустимого значения диаметра вала. [c.362] Поставленная выше задача Неймана для определения функции кручения / х, у), а следовательно, и задача об определении напряженно-деформированного состояния цилиндрического стержня при кручении решены также для стержней эллиптического, прямоугольного и многих других поперечных сечений. [c.362] Действительно, решение для сплошного вала удовлетворяет уравнениям равновесия, граничному условию на внешней границе полого вала и, очевидно, легко может быть подобрано так, чтобы условия на торцах полого вала удовлетворялись. [c.362] Иногда без значительной потери прочности конструкцию можно сильно облегчить, если сплошной вал, работающий на кручение, заменить полым валом. В подтверждение этого приведем простой конкретный расчет. [c.363] Изложим теперь предложенный Сен-Венаном способ решения задач о кручении цилиндрических стержней. [c.364] Таким образом, для определения функции кручения / мы имели внутреннюю задачу Неймана, для определения сопряженной с ней функции ф получилась задача Дирихле. [c.364] Если напряжения представлены через функцию напряжений, то уравнения равновесия автоматически удовлетворяются. Однако х, у) не может быть произвольной функцией, так как компоненты тензора напряжений, кроме уравнений равновесия, должны удовлетворять уравнениям Бельтрами — Мичелла. В рассматриваемом случае уравнения Бельтрами — Мичелла превращаются в уравнение для функции (х, у). [c.366] Вернуться к основной статье