ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Диффузия вихрей в вязкой несжимаемой жидкости из "Механика сплошной среды. Т.2 " Это утверждение выражает собой теорему Томсона, доказанную раньше другим способом. Из доказанных предложений вытекают все следствия, установленные раньше, в 7 гл. VI т. 1. [c.305] Подчеркнем, что все предыдущие выводы касались свободных вихрей. [c.305] Если справа в уравнении (28.1) имеются массовые силы, ротация которых отлична от нуля (непрерывно распределенные силы Н. Е. Жуковского), то и в идеальной среде возникает движение вихрей относительно среды. [c.305] Рассмотрим теперь уравнение распространения вихрей в вязкой несжимаемой жидкости. [c.305] В этом случае в правую часть уравнения равнение диффузии (28.1) необходимо добавить член уДу. [c.305] Это уравнение (29.3) совпадает с уравнением диффузии или теплопроводности в неподвижной среде (с.м. 7, гл. V, т. 1). [c.305] Таким образом, проекции вектора вихря выравниваются в общей массе жидкости по законам, аналогичным законам выравнивания температуры в неравномерно нагретом теле. В вязкой жидкости завихренность рассеивается по объему и по частицам среды с общей тенденцией к равномерному распределению по всему объему. [c.305] Рассмотрим задачу о диффузии вихря, когда при = О в жидкости имеется концентрированный прямолинейный вихрь с заданной конечной циркуляцией Г, расположенный по оси 2, В последующие моменты времени при О о будет происходить диффузия вихря на всю плоскость. Рассчитаем распределение вихрей для любых 0. Очевидно, что искомое решение симметрично относительно оси 2, поэтому величина зависит только от полярного радиуса г в плоскости ху и от а скорость жидкости тоже зависит от г и и направлена по касательным к окружностям с центром в начале координат. [c.306] Таково начальное условие задачи. [c.306] Постоянная С равна нулю для искомого решения, в котором ф (0) и ф (0) конечны. [c.307] При = О получается закон распределения скоростей от прямолинейного концентрированного вихря, совпадаюш его с осью г. В идеальной жидкости такое двин ение сохраняется для всех I 0. В вязкой жидкости возникает диффузия вихря, обусловленная появлением второго члена в скобках формулы (29.12). [c.308] Формула (29.11) показывает, что величина вихря 0 в каждой точке плоскости ху с течением времени возрастает от нуля до максимума, равного Г/(2лг е),а затем убывает и снова стремится к нулю. [c.308] Уравнение (29.5) линейное и пригодно для рассмотрения любого симметричного относительно оси г движения и, в частности, для начальной задачи с любой заданной функцией (г, 0). Соответствующее решение линейной задачи можно построить методом суперпозиции решения для точечного вихря. [c.308] Вернуться к основной статье