ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Потенциальные течения идеальной жидкости. Интеграл Коши — Лагранжа из "Механика сплошной среды. Т.2 " Для потенциальных течений идеальной жидкости как установившихся, так и неустановившихся, может быть получен первый интеграл уравнений Эйлера. Этот интеграл носит название интеграла Коши — Лагранжа. [c.149] Соотношение (11.2), выполняющееся во всех точках области потенциального движения жидкости или газа, и есть интеграл Коши — Лагранжа. [c.150] После замены в (11.2) d( dt через дщ д1 получим, что функция / ( ) в интеграле Коши — Лагранжа равна нулю. В этом случае потенциал ф определяется с точностью до аддитивной постоянной по времени и по координатам. [c.151] Интеграл Коши — Лагранжа может служить для тех же целей, что и интеграл Бернулли если потенциалы скоростей ф и внешних сил % известны, то с помощью интеграла Коши — Лагранжа можно определить распределение давлений. [c.151] Скалярное произведение grad ф 1 пер является инвариантной величиной и может быть записано как через компоненты векторов в системе т , так и через компоненты в системе X, у, Z. [c.152] Наличие потенциала скоростей существенно облегчает решение математических задач гидродинамики и в то же время потенциальные течения представляют собой очень важный ( )изический класс течений. [c.153] Многие движения можно рассматривать как движения, возникающие из состояния покоя, когда в начальный момент времени 1у = О, а следовательно, и со = 0. Такие движения должны быть потенциальными и во все последующие моменты времени. В приложениях движения жидкостей и газов во многих задачах рассматриваются как потенциальные. Таковы, например, волновые движения воды, движения воздуха в случае распространения акустических (звуковых) волн, различные непрерывные движения жидкостей и газов, вызванные движением в них твердых тел, струйные движения жидкости и многие другие. [c.153] Подчеркнем, что изложенные в 7 гл. VI теоремы основаны на определенных допущениях о свойствах среды и о характере процессов. Невыполнение с( )ормулированных при этом условий может привести к нарушению свойств потенциальности течений. Например, наличие вязкости может оказаться источником возникновения вихрей. В идеальном газе могут появляться поверхности разрыва скорости и нарушаться баротропность течения вследствие разрывов и т. д. [c.153] Дадим теперь динамическую интерпретацию потенциала скоростей в случае потенциальных движений идеальной несжимаемой жидкости. [c.154] Функция ф, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической функцией. [c.155] Решение уравнения Лапласа в некоторой области определяется заданием значений функции ф на поверхности 2, ограничивающей область 25. Задача об отыскании гармонической в области 25 функции по ее значениям на границе области 25 называется задачей Дирихле. Эта задача в односвязной области, вообще говоря, всегда имеет однозначное единственное решение. Поэтому движение жидкости и импульс давления внутри области полностью определяются, если на границе заданы значения внешнего импульса давления = — рф. [c.155] Приведенное истолкование потенциала скоростей с помощью понятия импульса давления существенно связано со свойством несжимаемости жидкости и, в частности, с мгновенностью распространения всяких изменений давления на всю массу несжимаемой жидкости. [c.155] Рассмотрим теперь некоторые вопросы общей теории потенциальных движений. [c.155] Неизвестными в этой системе являются функция давления и потенциал скоростей ф. В общем случае эту нелинейную систему дифференциальных уравнений проинтегрировать трудно. Однако существуют важные классы движений, для которых методы решения системы уравнений (11.16) подробно и хорошо разработаны. Перечислим такие классы потенциальных движений жидкости. [c.156] Второе уравнение системы (11.16) служит в этом случае для определения давления. В такой постановке рассматриваются такие важные задачи, как задачи о движении воды, возникшем при перемещении в ней твердых тел, задачи о волнах на поверхности воды, задачи о струйных течениях воды и многие другие. Ниже подробно будет рассмотрена задача о движении твердого тела в несжимаемой жидкости. [c.156] Движения сжимаемой газа, представляющие возмущения некоторого стояния равновесия или движения изучаются, например, в акустике (задачи о распространении звуковых волн) и в некоторых задачах аэродинамики тонких тел с плавными обтекаемыми обводами. [c.156] При решении задач о движении среды с малыми возмущениями предполагается, что скорость, плотность, давление и их производные по координатам и по времени представляют собой известные функции плюс неизвестные малые добавки. Если пренебречь малыми величинами порядка выше, чем первый, то система уравнений становится линейной. [c.156] Это линейное уравнение называется волновым уравнением. Если жидкость несжимаемая, то Hq и волновое уравнение (11.17) переходит в уравнение Лапласа. [c.157] Установившиеся движения сжимаемой жидкости. Наибольшее развитие в этом случае получила теория плоскопараллельных течений, когда искомые функции зависят лишь от двух переменных х я у. Уравнения движения в этом случае специальной заменой переменных и искомых функций также удается преобразовать к линейным. Это преобразование было предложено и использовано в 1902 г. С. А. Чаплыгиным в его знаменитой работе О газовых струях ). Эта работа стала основной для развития многих современных теорий в газовой динамике. [c.157] Вернуться к основной статье