ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Понятие о тензоре напряжений из "Теория обработки металлов давлением Издание 3 " С тензорами можно производить различные математические действия, изучаемые в тензорном анализе, в частности тензоры можно вычитать и складывать, с чем мы встретимся дальше. [c.78] Выясним теперь, можно ли определить величину главных напряжений и положение главных плоскостей по тензору напряжений, данному в произвольных координатных осях. [c.78] Пусть в какой-то, пока неизвестной, наклонной площадке действует только нормальное напряжение о, т. е. эта площадка является главной. Пусть положение этой площадки определяется направляющими косинусами Ох, ау йг по отношению к взятой системе координат. Тогда компоненты напряжения а по координатным осям будут 0 айу, оог, так как направление о совпадает с нормалью к площадке. [c.78] Полученная система уравнений относительно а , йу, являет--ся линейной и однородной (свободные члены равны нулю). Так как йх, йу и не могут быть все три одновременно равны нулю, то, как известно из теории уравнений, определитель этой системы, должен быть равен нулю, т. е. [c.79] При выводе уравнения (3.13а) для определения величины главных напряжений оси координат были выбраны произвольно,. Главные же напряжения при данном напряженном состоянии, имеют единственные значения. Отсюда следует, что коэффициенты кубического уравнения (3.13а) имеют одни и те же значения независимо от того, как были выбраны оси координат. Они не изменяют своей величины при изменении положения координатных осей. Иначе говоря, эти коэффициенты инвариантны к преобразованию координат. А так как эти коэффициенты составлены из компонент тензора напряжений, то они являются и его, инвариантами при преобразовании координат. [c.79] Инварианты тензора напряжений имеют весьма важное значение, так как они характеризуют напряженное состояние независимо от выбранной системы осей координат. Так, например, если написаны два тензора, то, пользуясь инвариантами, мы сразу можем определить, выражают ли они разные напряженные состояния или представляют собой одно и то же напряженное состояние при разных осях координат. [c.80] Вернуться к основной статье