ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка из "Пересечение поверхностей Варианты задач и методические указания к их выполнению " Поскольку поверхности второго порядка являются алгебраическими, то и линия их пересечения есть алгебраическая кривая. Так как порядок линии пересечения равен произведению порядков поверхностей, то эта линия - кривая четвёртого порядка. В ряде случаев кривая распадается на несколько линий более низких порядков. Для технических задач важно распадение на две кривые второго порядка, на две плоские кривые. Условия, при которых это возможно, выражены в следующих теоремах. [c.8] Теорема 1 Если дае поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и ещё по одной 1фивой, которая тоже является плоской. [c.9] Рассмотрим пример (рисунок 6). Круговой конус и цилиндр второго порядка имеют общее круговое основание т(т , шг). Значит, эти поверхности пересекаются по одной плоской кривой. [c.9] Вторую кривую пересечения найти легко, так как общая плоскость симметрии поверхностей параллельна плоскости проекций Па, а поэтому искомая кривая на этой плоскости изобразится одной прямой. Дня её построения достаточно двух точек - А(Аг) и В(Вг). Следовательно, вторая часть линии пересечения будет частью эллипса АВ(А2В2) по её фронтальной проекции легко достраивать и горизонтальную проекцию. [c.9] Теорема 2 (о двойном прикосновении). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые (второго порядка), плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания. [c.9] Пример, иллюстрирующий эту теорему, приведён на рисунке 7. [c.9] Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в неё, то они пересекаются по двум плоским кривым. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания. [c.10] Рассмотрим пример (рисунок 8). [c.11] Пересекаются круговые конус и цилиндр, описанные около сферы. Линиями пересечения будут два эллипса, изображающиеся во фронтальной проекции прямыми А2В2 и СгОг. [c.11] На рисунке 9 показано пересечение сжатых эллипсоидов вращения, вписанных в общую сферу. [c.11] Теорема Г. Монжа представляет частный случай теоремы о двойном прикосновении. [c.11] Вернуться к основной статье