ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задачи нелинейного программирования из "Машинные методы проектирования канализационных сетей " В задачах нелинейного программирования функция цели и ограничения могут быть нелинейными. В одних задачах нелинейной является функция цели, в других — ограничения, а в третьих —и то и другое. Решение нелинейных задач сопряжено с большими трудностями, а процесс минимизации обычно не завершается за конечное число шагов. [c.15] В задачах нелинейного математического программирования играют большую роль выпуклые функции. При выпуклой функции цели и выпуклых ограничениях можно рассчитывать на получение единственного решения. Понятие о выпуклой функции цели дает рис. 5, где график ее обозначен сплошной линией. Для выпуклой функции должно выполняться неравенство ВС АС. [c.16] Можно показать, что Л С = А./(х1) + (1—Х)[(х2). [c.16] На рис. 6 изображена функция цели двух аргументов Р(Х, Х2) с тремя ограничениями. Пусть в области допустимых значений намечена точка (базнс) Р. Двигаясь от этой точки в сторону меньших значений функции Р х, х2), попадем в точку / , находяшуюся на границе этой области. Далее перемещаемся по ее границе также в сторону меньших значений Р хи х ) и попадаем в точку С, отвечающую минимально возможному значению функции цели Р — 64. [c.17] Если функция цели и (или) ограничения не выпуклы, то далеко не всегда удается попасть подобным способом в ту точку, которая отвечает минимально возможному значению функции цели. Геометрическая интерпретация данного положения для двух переменных показана на рис. 7. Если перемещаться в сторону меньших значений функции цели от точки Р, то будет достигнута точка В, где / а = 34 если же двигаться от точки Q, то попадем в точку С, где Рс = 38. Таким образом, решение зависит от того, какая исходная точка принята в области допустимых значений. [c.17] В обоих примерах при перемещении от исходной точки к ) очке, отвечающей минимально возможному значению функции цели, мы руководствовались вполне четко и определенно двумя С, равилами двигаться в сторону меньших значений функции и е выходить из области допустимых значений. Эти правила со- тавляют метод решения, называемый детерминированным. Оказалось, однако, что при невыпуклости функции цели и (или) ограничений детерминированный метод может не обеспечить единственности решения так, в рассматриваемом примере (рис. 7) получены два решения, притом неравноценные. [c.17] Между тем задачи математического программирования можно решать методом статистических испытаний (методом Монте-Карло), который в общем сводится к следующему. С помощью особой подпрограммы, называемой генератором случайных чисел, назначаются случайные значения координат. После этого проверяют, попала ли точка в область допустимых значений. Если она попала в нее, то вычисляется значение функции цели. Если последнее оказалось меньшим, чем на предыдущем этапе, то оно и значение координат запоминаются в противном случае все это отбрасывается. И так продолжается до тех пор, пока значение функции цели существенно не уменьшится. Данный метод позволяет решить самую сложную задачу, но требует очень много машинного вре ни и поэтощ. прдмшается редко. [c.17] До сих пор предполагалось, что аргументы, входящие в функцию цели и ограничения, могут изменяться непрерывно. Между тем во многих случаях они должны изменяться ступеньками — дискретно, как, например, при технико-экономическом расчете водопроводных, тепловых и газовых сетей, когда диаметры труб должны иметь значения d = 100 мм d2— 125 мм з — 150 мм и т. д. То же относится и к расчету канализационных сетей. Здесь диаметры труб должны отвечать сортаменту и наличию труб тех или иных диаметров на складе. Подобная ситуация встречается и при минимизации массы ферм, когда нужно учитывать сортамент проката. При выборе насосно-силового оборудования принимаются во внимание данные каталога насосов и т. д. Соответствующие задачи решаются на дискретном множестве переменных. [c.18] Совокупность задач математического программирования часто называют задачами оптимизации. При этом дополняют формулировку задачи критерием оптимизации (что представляет собой функцию цели) и типом аргументов. Если речь идет о водопроводной или канализационной сети, то может встретиться такая формулировка проблемы оптимизация водопроводной (канализационной) сети на дискретном множестве диаметров по критерию приведенной стоимости. [c.18] Во многих инженерных задачах не известно, являются ли функции выпуклыми. В лучшем случае можно выделить из них унимодальные, которые постоянно увеличиваются при изменении аргументов в определенных направлениях. Примером такой функции может служить F х, у)= х — у (д 0 у 0) она возрастает с увеличением аргумента х и с уменьшением аргумента у но эта функция не является выпуклой. [c.18] Таким образом, далеко не всегда при решении задачи нелинейного программирования удается получить минимально возможное значение функции цели. Однако во многих случаях уменьшение денежных затрат для намеченного варианта (исходного, базисного), особенно для варианта, подготовленного квалифицированным специалистом, дает существенный экономический эффект независимо от того, достигается ли при решении соответствующей задачи нелинейного программирования минимально возможное значение функции цели или нет. [c.18] Вернуться к основной статье