ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые сведения из тензорного исчисления из "Механика жидкости и газа Издание3 " Как известно, ие всякая функция трех координат может образовывать поле скалярной физической величины. По самому своему определению скаляр должен быть инвариантен по отношению к любому преобразованию координат, т. е. сохранять одно и то же значение в данной точке пространства, какова бы ни была система координат, при помощи которых он аналитически выражен. [c.45] Сообразно с принятым в таблице (1) обозначением величин а,-, в первом из них индекс суммирования / стоит на втором месте при величине ац, во втором — иа первом. Индекс, по которому производится суммирование, носит наименование немого. Его можно по ходу вычисления обозначать любой буквой, меняя обозначение, когда это необходимо. [c.45] Иными словами, при переходе от одной системы декартовых прямоугольных координат к другой компоненты вектора должнь1 преобразовываться по тем же формулам, что и координаты. Это выражают, говоря, что компоненты вектора должны быть ковариантными величинами ). [c.46] Условие Д = 1 имеет место, если системы координат обе правые или обе левые, а А = —1, если одна из систем правая, а другая левая. [c.47] Преобразования координат с определителем Д = 1 называют преобразованиями движения, а с определителем Д = —1—преобразованиями отображения. [c.47] Примером псевдовектора может служить векторное произведение с двух истинных векторов а и Ь. [c.47] Аналогично получим другие два соотношения для с и с. Совокупность этих равенств подтверждает, согласно (9), что векторное произведение двух истинных векторов представляет псевдовектор. Другим широко распространенным примером псевдовектора служит вектор угловой скорости вращения твердого тела ). Псевдовектором будет вихрь истинного вектора rot а. Псевдовекторы иногда, в отличие от истинных,-как иногда говорят, полярных векторов, называют аксиальными векторами. [c.48] Примером псевдоскаляра может служить тройное скалярно-вектор-ное произведение истинных векторов а - Ь X с), отличающееся, как известно, от истинного скаляра — объема параллелепипеда, построенного иа векторах сомножителях, лишь тем, что может быть как положительной, так и отрицательной величиной. [c.48] Пользуясь этими простейшими операциями, произведем разложение тензора второго ранга на симметричную и антисимметричную части. Назовем сопряженным с данным тензором второго ранга Т такой тензор второго ранга Т, компоненты которого соответственно равны компонентам основного тензора, но с измененным порядком индексов, т. е. [c.49] Обращает на себя внимание тот факт, что в отличие от симметричного тензора 5, определяемого шестью различными числами 5ц, 12 = 52ь 5)3 = 5з1, 523 = 5,32, 522, 5зз, таблица антисимметричного тензора заключает в себе лишь три различных величины Л23, А и Л12. Этим антисимметричный тензор напоминает вектор. [c.50] Составляя формулы преобразования компонент антисимметричного тензора к новым коордийатным осям, можно было бы убедиться, что они сводятся к формулам преобразования компонент (Л23, Л31, Л12) некоторого псевдовектора. Для этого надо только использовать свойство определителя, составленного из направляющих косинусов новых осей со старыми. Этот псевдовектор, как мы вскоре увидим, с точки зрения операций его векторного умножения на другой истинный вектор в известном смысле эквивалентен антисимметричному тензору, но, конечно, как вектор, не может быть равен тензору. [c.50] Для дальнейшего существенно определить операции умножения вектора на тензор, а также умножения двух тензоров. [c.50] Равенства (20) и (21) определены так, чтобы повторяющиеся индексы, по которым производится суммирование, были смежными у а и Т или Т и а. [c.51] Операции (20) и (21), очевидно, совпадают, если Tij = Тц, т. е. в том случае, когда тензор Т симметричен. [c.51] Так же как и все векторные операции, операции умножения (20) и (21) отражают конкретные комбинации величин, встречающиеся в различных областях физики и, в частности, в механике сплошных сред. В дальнейшем мы многократно встретимся с необходимостью применения онерации умножения вектора иа тензор. [c.51] Пользуясь операцией умножения (20) или (21), можно дать определение тензора второго ранга, отличное от ранее указанного, а именно назовем тензором второго ранга совокупность девяти величин Тц, которые в соединении с проекциями вектора я,- по формулам (20) или (21) приводят к величинам, представляющим также проекции вектора. Такое определение тензора второго ранга представляет некоторые преимущества в тех случаях, когда тензор возникает впервые в рассуждении, включающем операцию умножения (см., например, определение тензора напряжений в начале гл. II). [c.51] Компоненты симметричного тензора в главных осях, расположенные по главной диагонали, называют главными компонентами, остальные компоненты в главных осях равны нулю. Разыскание направлений главных осей производится теми же приемами, как разыскание осей симметрии поверхностей второго порядка в аналитической геометрии. Геометрическим представлением тензорной единицы, так же как и всякого другого тензора, получаемого из тензорной единицы умножением на скалярный множитель, служит сфера. Такого рода тензоры называют сферическими. [c.53] Легко убедиться, что сферическая часть антисимметричного тензора равна нулю, так как линейный его инвариант равен нулю. Отсюда следует, что всякий антисимметричный тензор второго ранга дает пример девиатора. [c.54] Вернуться к основной статье