ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Определение собственных значений методами преобразований подобия из "Решение инженерных задач на ЭВМ " Метод преобразований подобия применяется с целью получить из исходной матрицы новую с тедш же собственными значениями, но более простого вида. Очевидно, самым лучшим упрощением было бы приведение матрицы к чисто диагональному виду, так как в этом случае собственные значения просто соответствовали бы элементам матрицы, стоящим на главной диагонали. К сожалению, большая часть методов преобразования не позволяет этого сделать, и приходится довольствоваться приведением матрицы к трехдиагональной форме. [c.57] На каждом основном шаге изменяются лишь те элементы мат-р1щы йц, которые расположены в ее правой нижней (заштрихованной) части. Таким образом на к-и шаге преобразуется только матрица порядка (п — к + 1), занимающая правый нижний угол исходной матрицы. Ясно, что на каждой следующей стадии выполняется меньшее число преобразований, чем на предыдущей. Всего для приведения матрицы к трехдиагональному виду требуется выполнить (п — 3 -)- 2)12 преобразований. [c.61] Если целое число, равное числу изменений знака, обозначить через Уф), то число собственных значений в интервале действительных чисел [Ь, с] будет равно У Ь) У с). [c.64] Этот процесс повторяется до тех пор, пока не превратится в единичную матрицу Е, а Рз яе приобретет квазидиагональную форму. Хотя этот метод очень удобен, он не всегда устойчив. Лоэтому предпочтение часто отдают другому методу. [c.65] Собственные значения Действит. Мним. [c.67] Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. Инженеру очень часто приходится сталкиваться с ними при разработке новых изделий или технологических процессов, так как большая часть законов физики формулируется именно в виде дифференциальных уравнений. В сущности любая задача проектирования, связанная с расчетом потоков энергии или движения тел, в конечном счете сводится к решению дифференциальных уравнений. К сожалению, лишь очень немногие из них удается решить без помощи вычислительных машин. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют такую важную роль в практике инженерных расчетов. [c.72] В зависимости от числа независимых переменных и, следовательно, типа входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории обыкновенные, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными. В этой главе рассматриваются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Решению дифференциальных уравнений в частных производных посвящена следующая глава. [c.72] Предполагается, что читатель в основном знаком с теорией дифференциальных уравнений. Тем, кто в этом не уверен, мы рекомендуем предварительно с ней познакомиться. [c.72] Поскольку численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, то оно в течение многих лет было объектом пристального внимания и число разработанных для него методов очень велико. Остановимся здесь на следующих двух группах методов решения задачи Коши. [c.73] НОМ предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге— Кутта. [c.74] Этот метод является методом второго порядка, так как в нем используется член ряда Тейлора, содержащий к . Ошибка на каждом шаге при использовании этого метода, имеет порядок к . За повышение точности приходится расплачиваться дополнительными затратами машинного времени, необходимыми для вычисления у п+1- Более высокая точность может быть достигнута, если пользователь готов потратить дополнительное машинное время на лучшую аппроксимацию производной путем сохранения большего числа членов ряда Тейлора. Эта же идея лежит в основе методов Рунге — Кутта. [c.77] Метод Эйлера и его модификация по сути дела являются методами Рунге — Кутта первого и второго порядка соответственно. По сравнению с ними метод Рунге — Кутта имеет важное преимущество, так как обеспечивает более высокую точность, которая с лихвой оправдывает дополнительное увеличение объема вычислений. Более высокая точность метода Рунге— Кутта часто позволяет увеличить шаг интегрирования /г. Допустимая погреш-рюсть на шаге определяет его максимальную величину. Чтобы обеспечить высокую эффективность вычислительного процесса, величину к следует выбирать именно из соображений максимальной допустимой ошибки на шаге. Такой выбор часто осуществляется автоматически и включается как составная часть в алгоритм, построенный по методу Рунге — Кутта. [c.78] Относительную точность одношаговых методов продемонстрируем на следующем примере. [c.78] С задачами об ударе и колебаниях часто приходится сталкиваться в аэрокосмической промышленности и на транспорте, где имеются многочисленные источники возбуждения колебаний. Устранение ударных и вибрационных нагрузок имеет исключительно большое значение для обеспечения нормальной работы приборов и систем управления и создания комфортных условий для экипажа. Обычно для защиты от чрезмерных вибраций в конструкцию транспортного средства вводят упругие опоры, снабженные устройствами, обеспечивающими некогорое демпфирование колебаний. Такие опоры резко уменьшают частоты собственных колебаний конструкции, обеспечивая их существенное отличие от частот возмущающих силовых факторов. Такое решение эффективно как средство защиты от стационарных колебаний, однако в случае ударных нагрузок податливость опор может привести к недопустимо большим смещениям. [c.81] Известно, что от этого недостатка свободны системы подвески, в которых используются пружины с симметричной нелинейной характеристикой жесткость которых прогрессивно увеличивается при больших отклонениях от рабочей точки . Устройство, показанное на рисунке, состоит из массы т, связанной с жесткой стенкой через пружину постоянной жесткости к, демпфер с коэффициентом демпфирования с и пружиной с нелинейной характеристикой, создающей восстанавливающую силу, равную произведению постоянной к на смещение в третьей степени. Такая кубическая пружина имеет симметричную нелинейную характеристику, обеспечивающую защиту от ударных и вибрационных нагрузок. [c.81] Подготовим и реализуем на ЭВМ программу для моделирования движения рассматриваемой механической системы в интервале времени О 1 с. [c.81] Чтобы в выдаче длина выражалась в сантиметрах, изменим размерность массы. Тогда т = 0,01 Н-с см. [c.82] Вернуться к основной статье