ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Корни нелинейного уравнения из "Решение инженерных задач на ЭВМ " Обычно нелинейные уравнения делят на трансцендентные и алгебраические. Хотя они часто решаются одними и теми же методами, в данной главе методы их решения рассматриваются по отдельности, так как решения алгебраических уравнений обладают особыми свойствами. Этот раздел посвящен трасцендентным уравнениям алгебраические уравнения рассматриваются в следующем разделе. [c.18] Нелинейные уравнения, содержащие тригонометрические функции или другие специальные функции, например lgл или е , называются трансцендентными. Методы решения нелинейных уравнений такого типа делятся на прямые и итерационные. Первые позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения. Известным примером такого рода является формула корней квадратного уравнения. В итерационных методах задается процедура зешения в виде многократного применения некоторого алгоритма. Лолученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близким к точному. Итерационные методы наиболее удобны для реализации на ЭВМ и поэтому подробно рассматриваются в этой главе. В каждом из излагаемых методов считается, что решаемая задача состоит в отыскании действительных корней (нулей) уравнения / (л ) = 0. Хотя подобные уравнения также могут иметь комплексные корни, способы их отыскания обычно рассматриваются только для алгебраических уравнений. [c.18] В основе этого метода лежит линейная интерполяция по двум значениям функции, имеюш,им противоположные знаки. При отыскании корня этот метод нередко обеспечивает более быструю сходимость, чем предыдущий. Блок-схема алгоритма метода ложного положения дана на рис. 2.4. Счет ведется следующим образом. Сначала определяются значения функции в точках, расположенных на оси X через равные интервалы. Это делается до тех пор, пока ие будет найдена пара последовательных значений функции /(а ) и имеквдих противоположные знаки. [c.20] ТОЧНО близко к нулю, то вся процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнута необходимая степень сходимости. На рис. 2.5 процесс решения показан графически. [c.22] Схема алгоритма для этого метода та же, что и для метода Ньютона (несколько иной вид имеет итерационная формула). В сущности в методе секущих для отыскания корня используется комбинация интерполяции и экстраполяции. В своей интерполяционной части этот метод эквивалентен методу ложного положения. Как и в случае метоДа Ньютона, счет заканчивается, когда последовательные значения х совпадают с некоторой приемлемой точностью или когда значение функции /(х) становится достаточно близким к нулю. В случае кратных корней при использовании метода секущих возникают те же трудности, что и при использовании метода Ньютона. [c.24] Блок-схема алгоритма метода представлена на рис. 2.8. Простота метода простой итерации делает его привлекательным, однако не следует забывать, что и этому методу присущи недостатки, так как он не всегда обеспечивает сходи.мость. Поэтому для любой программы, в которой используется этот алгоритм, необходимо предусматривать контроль сходимости и прекращать счет, если сходимость не обеспечивается. [c.25] Таким образом, метод Ньютона обеспечивает очень быструю сходимость при начальном значении д = 4,5. Отметим, что при начальных значениях х = 4,0 или 5,0 сходимость не достигается. [c.27] Вернуться к основной статье