ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Построение дискретной модели и функций формы элементов из "Применение ЭВМ для решения задач теплообмена " Отметим, что при построении функций формы кроме сформулированных выше условий на их значения в узловых точках (единица в одном узле и ноль в остальных) необходимо обеспечивать непрерывность аппроксимации на границах смежных элементов. Методика получения функций формы для различных видов элементов рассмотрена в 17, 27]. [c.133] На рис. 4.5 отмечен некоторый п-й элемент, содержащий вершины с номерами г, /, k, которые могут принимать значения от 1 до М. Эти узлы имеют координаты х,-, xj, х по оси х н yi, у у, у по оси у. [c.133] Как видно из рис. 4.7, этот интеграл равен объему пирамиды с треугольным основанием и высотой, равной 1. [c.135] Второй интеграл в (4.20) вычисляется лишь для граничных элементов вдоль тех их сторон, которые прилегают к внешней границе L области D. [c.136] Структура системы разностных уравнений. Рассмотрим подробнее структуру системы разностных уравнений (4.21). Возьмем т-е уравнение, получающееся при дис еренцировании функционала (4.19) по значению температуры в т-м узле. Напомним, что распределение температуры (х, у) в любом элементе зависит только от температур u , Uj, в узлах этого элемента. Соответственно и значение функционала /( зависит только от этих температур. Поэтому в сумме (4.19) от будут зависеть только / тех элементов, которые включают т-й узел. Это обстоятельство позволяет формировать систему (4.21) одним из двух способов. [c.136] Первый способ основан на переборе узлов. Он заключается в выделении какого-то т-го узла, определении элементов, содержащих этот узел, и суммировании частных производных от функционалов этих элементов по температуре выделенного узла. Таким образом, при получении системы (4.21) последовательно формируется первое, второе,. .., М-е уравнения. [c.136] Будем считать, что разбиение выполнено таким образом, чтобы величины X, q qs, а можно было бы считать постоянными в пределах каждого элемента. Если эти величины являются кусочно-непрерывными функциями координат, то разбиение проводят так, чтобы границы элементов совпадали с линиями разрыва. Если величины являются непрерывными, но резко изменяющимися функциями координат, то нужно построить в области их сильного изменения более густую сетку. [c.137] Здесь учтено, что fh у) 0 на стороне Ьц (см. рис. 4.7). Если граничной является сторона то выражение для интеграла запишется аналогично, но вместо Lij следует подставить L,, а вместо Uj — Uh. Если же к границе прилегает сторона Ljk, то рассматриваемый интеграл равен нулю, так как функция формы f (х, у) для узла i равна нулю на стороне Lj и, следовательно, распределение температуры на этой стороне не зависит от температуры щ. [c.138] Проанализируем теперь с учетом (4.25) структуру системы (4.21). Видно, что производная дl /дUi представляет собой сумму произведений неизвестных температур ы,-, uj, на постоянные известные коэффициенты, зависящие от координат узлов и параметров задачи, а также постоянных известных членов, не зависящих от искомых температур. Левые части уравнений (4.21), получаемые путем суммирования частных производных, имеют такую же структуру, и, следовательно, приравнивая их нулю, мы получаем линейную систему разностных уравнений относительно неизвестных температур узловых точек. [c.138] Локальные матрица и вектор-столбец. Для формирования матрицы линейной системы разностных уравнений удобно записать полученные выше соотношения для частных производных функционала п-го элемента в матричном виде. Для получения матричной записи принято использовать так называемую локальную нумерацию узлов и соответствующих им неизвестных температур, действующую только в рамках каждого конкретного элемента разбиения. [c.138] Отметим, что соответствие между глобальными и локальными номерами для каждого элемента разбиения задается с помощью индексной матрицы, о которой шла речь в 4.2. [c.139] В выражениях (4.29), (4.30) для элементов матриц g , q) слагаемые, содержащие множители La, Lj , Li следует учитывать лишь в том случае, если соответствующая сторона элемента п принадлежит внешней границе L. [c.140] На первый взгляд введение дополнительной локальной нумерации неизвестных в элементах разбиения и использование матричной формы записи (4.27) представляется излишней процедурой. Однако, как показала практика, на самом деле это позволяет сделать более удобной процедуру формирования глобальной матрицы G и вектор-столбца Ф при составлении программ расчета по методу конечных элементов. [c.141] Прежде всего отметим, что процедура построения уравнений в МКЭ имеет важную особенность по сравнению с методом конечных разностей. При построении конечно-разностной схемы мы рассматривали уравнение теплового баланса для элементарного объема, построенного около узла сетки с номером т (см. 3.3), и сразу получали т-е уравнение общей системы. В случае МКЭ в т-е уравнение системы (4.21) входит сумма производных от функционалов / , вычисленных для различных элементов, которые содержат узел с номером т. Поэтому при составлении каждого уравнения надо производить суммирование вкладов от разных элементов. Из-за этой особенности процедура построения системы уравнений МКЭ несколько менее наглядна, чем в случае конечных разностей, и при ее первоначальном изучении возникают некоторые трудности. Для простоты изложение начнем с разбора конкретного примера для области, изображенной на рис. 4.8 и состоящей всего из трех элементов, которые содержат пять узлов. [c.141] Аналогичным образом можно получить и остальные три уравнения. [c.143] Алгоритм формирования глобальных матрицы и вектор-столбца. [c.143] Полученные выражения (4.34) позволяют изложить принцип формирования т-го уравнения глобальной системы. Это формирование целесообразно проводить путем постепенного суммирования вкладов от различных элементов. При машинной реализации перед началом формирования массивы, в которых помещаются глобальные G и Ф, обнуляются, а затем к их текущим значениям постепенно добавляются соответствующие коэффициенты локальных матриц и столбцов. Ясно, что вклад в т-е уравнение системы дадут только те элементы, у которых в строке индексной матрицы имеется номер т. Если т-й узел числится в локальной нумерации какого-либо из этих элементов 1-ш (/=1, 2 или 3), то будет использована /-Я строка локальной матрицы g и 1-й коэффициент локального вектор-столбца ф . Найденный нужный коэффициент локального столбца прибавляется к текущему значению т-го коэффициента глобального столбца. Коэффициенты выделенной строки локальной матрицы элемента прибавляются к соответствующим коэффициентам т-й строки глобальной матрицы, имеющим порядковые номера, указанные в строке индексной матрицы, т. е. первому коэффициенту строки локальной матрицы соответствует первый номер отсылки в строке индексной матрицы, второму коэ( ициенту — второй номер, третьему — третий. [c.143] Описанная процедура лежит в основе алгоритма формирования глобальной матрицы и глобального вектор-столбца. Как было уже отмечено выше, она реализуется путем последовательного перебора элементов следующим образом. Берется первый элемент, анализируется его строка в индексной матрице и устанавливается, в какие три уравнения этот элемент дает вклад . Далее рассчитываются его локальная матрица и вектор-столбец. При этом расчете используется информация о наличии у данного элемента граничных сторон, содержащаяся в четвертом столбце индексной матрицы. Пусть локальным номерам 1, 2, 3 соответствуют фактические номера i, j, k. Тогда первая строка локальной матрицы и первый коэффициент локального вектор-столбца участвуют в формировании i-й строки глобальной матрицы и i-ro коэффициента глобального вектор-столбца. Производится сложение найденных локальных коэффициентов с имеющимися значениями глобальных коэффициентов дц, Gij, Затем аналогичная процедура повторяется для второй и третьей строк локальной матрицы и второго и третьего коэффициентов локального столбца. Они участвуют в формировании строк глобальной матрицы и коэффициентов глобального столбца с номерами / и к, которые соответствуют локальным номерам 2 и 3. [c.144] Изложенный на примере треугольных элементов разбиения метод формирования глобальных матрицы и вектор-столбца, основанный на введении локальной нумерации узлов и неизвестных, легко переносится и на случай более сложных элементов разбиения. Он является наиболее общим, часто используемым и тем более эффективным, чем сложнее применяемые конечные элементы. [c.144] Свойства системы разностных уравнений и методы ее решения. Теперь рассмотрим ряд важных свойств, которыми обладает глобальная матрица. Во-первых, можно доказать, что она является симметричной. Во-вторых, глобальная матрица для задач большой размерности М является сильно разреженной, т. е. большинство ее элементов — нулевые. Наконец, путем введения разумной нумерации узлов ее можно сделать ленточной. [c.144] Вернуться к основной статье