ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные концепции метода конечных элементов (МКЭ) из "Применение ЭВМ для решения задач теплообмена " Все рассмотренные нами ранее разностные схемы для решения уравнений теплопроводности являются реализациями метода конечных разностей. Системы алгебраических уравнений для определения численного решения мы получали путем замены производных в дифференциальном уравнении и в граничных условиях или в уравнениях теплового баланса для элементарных ячеек конечными разностями. Таки.м образом, в методе конечных разностей отправной точкой для получения приближенного решения является дифференциальная краевая задача. Однако искомое поле можно находить и из решения соответствующей вариационной задачи. На ее численном решении основан получивший широкое распространение метод конечных элементов (МКЭ) [7, 27]. [c.128] Величины Я, a.,q , q могут быть заданы в виде произвольных функций координат х, у, в том числе и кусочно-непрерывных функций. [c.129] Метод конечных элементов основан на определении температурного поля путем приближенного решения соответствующей вариационной задачи. Для формулировки этой задачи напомним понятие функционала. Оператор I [f (л )] называется функционалом, заданным на некотором множестве функций, если каждой функции / х) из этого множества по некоторому правилу ставится в соответствие числовое значение / [/ (х)]. Иными словами, функционал является как бы функцией от функции . В практических приложениях обычно встречаются функционалы, заданные в виде некоторых интегралов, в подынтегральные выражения которых входят функции / (х). [c.129] Центральным местом в изложенном методе является назначение координатных функций разложения (4.4) /i,. .., /л . Метод конечных элементов основан на использовании описанной схемы приближенного решения при специфическом выборе вида координатных функций /i, Благодаря этому выбору неизвестные коэффициенты в разложении (4.4) приобретают ясный физический смысл. [c.130] Построение координатных функций проводится в МКЭ после разбиения области определения искомой непрерывной величины на N подобластей, называемых элементами, и фиксации в них М узловых точек, выбираемых на границах элементов (см., например, рис. 4.2). Отметим, что число членов в разложении (4.4) равно числу узловых точек. Каждая из функций (х, у) обладает следующими свойствами. Значение функции (х, у) в т-й узловой точке с координатами X = Хт, у = Ут равно единице, а в остальных узловых точках — нулю. Кроме того, функция fm (х, у) может быть отлична от нуля только в элементах, содержащих т-й узел. В остальной части области D она считается равной нулю. [c.130] При использовании разложения (4.4) в каждой точке области О работают только те координатные функции, у которых коэффициенты равны приближенным значениям температур узловых точек конечного элемента, содержащего данную точку. [c.131] Отметим два важных факта, вытекающих из рассмотренных свойств координатных функций. [c.131] Во-первых, функция I (а ,. .., ам), получающаяся при подстановке разложения (4.4) в функционал (4.3), будет функцией от неизвестных приближенных значений температуры в узловых точках U,,. .., им. [c.131] Во-вторых, пространственное распределение температуры внутри любого элемента аппроксимируется суммой произведений координатных функций на коэффициенты, равные приближенным значениям температуры в узловых точках, принадлежащих данному элементу. [c.131] Координатные функции (х, у), т = I, М строятся на основе так называемых функций формы элементов. Каждая из функций формы конкретного элемента равна единице в одной своей узловой точке, принадлежащей данному элементу, и нулю в остальных узлах этого элемента, т. е. для элемента вводится столько функций формы, сколько в нем содержится узлов. Вне элемента все его функции формы считаются равными нулю. Таким образом, функция формы и-го элемента, равная единице в принадлежащей ему /и-й точке, является представителем координатной функции (д , у) в этом п-м элементе. Поэтому температурное поле в п-м элементе аппроксимируется суммой произведений его функций формы на приближенные значения температур в его узловых точках. Очевидно, что для каждого элемента получается своя аппроксимация, но на границах элементов должна сохраняться непрерывность температурного поля. [c.131] Перейдем к реализации изложенной методики для задачи (4.1), (4.2). [c.131] Вернуться к основной статье