ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Локально-одномерная схема из "Применение ЭВМ для решения задач теплообмена " Локально-одномерная схема является типичным представителем широкого класса схем, применяемых для решения многомерных задач и задач расчета совместно протекающих процессов, описываемых несколькими уравнениями (например, уравнениями теплопроводности и диффузии или уравнениями Навье— Стокса и энергии для потока жидкости). Отличительная особенность этих схем — сочетание сильных сторон явных схем (малые затраты машинного времени на шаге по времени) и неявных схем (безусловная устойчивость). [c.118] Аналогичный подход используется и для задач расчета нескольких совместно протекающих процессов, в которых на каждом временном шаге расщепление проводится по физическим процессам, т. е. последовательно решаются отдельные уравнения со своими граничными условиями, а значения величин, определяемых из других уравнений, берутся из уже полученных на данном или предыдущем временном шаге полей. После расщепления по физическим процессам отдельные многомерные задачи можно далее расщеплять и по пространственным координатам. [c.119] Описанная методика внешне весьма проста, однако ее конкретное воплощение, связанное с решением вопросов о том, что можно и как нужно расщеплять , во многих случаях связано с большими трудностями и требует от расчетчика высокой математической квалификации и хорошего понимания физики исследуемого процесса. [c.119] Рассмотрим обоснование допустимости одного из вариантов расщепления и соответствующую этому варианту локально-одномерную схему применительно к задаче (3.73)—(3.75) при равномерной по пространственным координатам сетке с шагами и h,j. [c.119] Пока мы предполагаем, что приближенное решение начинается из точного распределения Т х, у, t, i). Отметим, что сначала решается уравнение (3.79) с начальным условием (3.80), а затем уравнение (3.81), в котором в качестве начального условия принимается полученное к концу временного интервала распределение х, у, tj). Граничные условия для уравнений (3.79), (3.81) соответствуют граничным условиям исходной задачи по направлениям хну. [c.119] Сравнивая (3.86) и (3.84), убеждаемся в справедливости соотношения (3.83). [c.120] Рассмотрим структуру получившейся системы конечно-разностных уравнений и методику ее решения. Система (3.88), (3.89) для фактически распадается на не связанные между собой подсистемы, в каждую из которых входят только неизвестные, принадлежащие какой-либо из горизонтальных прямых . Эти подсистемы решаются путем прогонок по горизонталям в направлении оси х,. причем на каждом шаге по времени такие прогонки выполняются /И раз т -- 1,. .., М. Аналогично система (3.90), (3.91) распадается на вертикальные подсистемы, которые решаются прогонками в направлении у, которые выполняются N раз. Таким образом, для определения значений температуры и п, на новом временном слое сначала на основе распределения температуры предыдущего временного слоя ш прогонками в направлении х находится промежуточное распределение не имеющее самостоятельного значения, а затем на основе этого промежуточного распределения с помощью вертикальных прогонок вычисляется окончательное распределение нового временного слоя. [c.121] Для простой области прямоугольной формы описанная процедура составления разностной схемы на основе ее физической интерпретации не сильно облегчает работу по сравнению с формальным путем, однако для более сложных областей (см. рис. 3.12) она оказывается весьма полезной и позволяет избежать ошибок. [c.122] Отметим, что при рассмотрении свойства аппроксимации вводится специальное понятие так называемой суммарной аппроксимации [241, которое заключается в следуюш,ем. Каждая из промежуточных систем разностных уравнений (3.88) или (3.90) в отдельности не обладает свойством аппроксимации. Однако невязка, возникающая на первом полушаге, компенсируется на втором полушаге, так что в целом получается погрешность аппроксимации, стремящаяся к нулю при измельчении пространственно-временной сетки. [c.122] Кроме локально-одномерной существуют и другие экономичные схемы. В частности, для двумерных задач получила распространение схема переменных направлений 14, 241. [c.123] Вернуться к основной статье