ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Конечно-разностные схемы для многомерных задач из "Применение ЭВМ для решения задач теплообмена " И равномерную сетку по времени Xj = jAx. Грани элементарных объемов разместим посередине между узловыми точками. [c.112] Множители hjn + /im-i)/2 и (h + / 2 соответствуют площадям граней элементарного объема, через которые проходят тепловые потоки. [c.113] Аналогичным образом метод баланса применяется и в более сложных ситуациях. Например, для элементарных объемов, подобных изображенному на рис. 3.12, а вокруг точки (п, т). Следует лишь аккуратно записать выражения для всех составляющих тепловых потоков с учетом фактических площадей граней и объема элементарной ячейки. При этом в выражениях для кондуктивных тепловых потоков участвуют значения температур в соседних узлах, а в остальных выражениях используется только температура и п, т в данном узле. Заметим, что без применения метода баланса вопрос аппроксимации граничных условий в угловых точках вообще неясен, так как непонятно, в каком из двух граничных условий аппроксимировать производную. [c.114] Неявная схема является безусловно устойчивой, однако ее реализация сложнее, поскольку на каждом временном шаге приходится решать систему уравнений относительно ММ) значений температуры и п, т на новом временном слое. Рассмотрим структуру этой системы конечно-разностных уравнений (3.76)—(3.78). [c.115] Искомые значения температур в уравнениях разностной схемы связаны между собой по горизонталям так же, как и в одномерном случае. Кроме того, имеются связи и по вертикалям . Причем неизвестные любой внутренней горизонтальной прямой взаимодействуют только с неизвестными двух соседних прямых — верхней и нижней. Этот факт определяет ленточный характер матрицы линейной системы уравнений относительно неизвестных температур, возникающей при неявной схеме. Остановимся на этом подробнее. [c.115] Пример заполнения матрицы для области с девятью узлами, представленной на рис. 3.14, показан на рис. 3.15, в котором символом X отмечены ненулевые коэффициенты. [c.116] Таким образом все ненулевые коэффициенты лежат в ленте шириной 2 /V + 1, осью которой является главная диагональ матрицы. [c.116] Мы проводили перенумерацию по горизонталям . Можно было организовать ее и по вертикалям , двигаясь снизу вверх и слева направо. Тогда ширина ленты равнялась бы 2 М + 1. Очевидно, что для экономии машинной памяти, а для многих алгоритмов и машинного времени выгоднее иметь минимальную ширину ленты. Поэтому следует проводить перенумерацию вдоль той координаты, по которой берется меньшее число узловых точек. [c.117] Таким образом, при использовании неявной схемы сначала в соответствии с принятой перенумерацией неизвестных проводится формирование ленты матрицы А и столбца свободных членов, а затем с помощью обращения к какой-либо стандартной программе решения линейной системы уравнений с ленточной матрицей находятся искомые значения температуры. Пример использования такой стандартной программы рассматривается в следующей главе применительно к системе уравнений метода конечных элементов, которая также имеет ленточный вид. [c.117] Мы рассмотрели методику решения линейной задачи. В случае наличия каких-либо нелинейностей применяют такие же приемы, как и для одномерной задачи (см. 3.6), и приходится на каждом шаге по времени решать линейную систему уравнений (при наличии итераций — решать многократно) с меняющейся от шага к шагу (и от одной итерации к другой) матрицей. [c.117] Основной проблемой при реализации описанного подхода является быстрый рост затрат машинного времени с увеличением числа узловых точек в области. Например, при использовании специальных модификаций метода Гаусса для ленточных матриц число арифметических операций для решения системы уравнений пропорционально KL , где К — общее число узловых точек в области, равное числу неизвестных в системе, L — ширина леты матрицы. Особенно неприятно это для нестационарных нелинейных задач. [c.117] С целью сокращения затрат машинного времени были разработаны конечно-разностные схемы, у которых эти затраты на каждом шаге по времени пропорциональны числу узловых точек К- Такие схемы называются экономичными. Из экономичных схем, получивших распространение на практике, рассмотрим в следующем параграфе локально-одномерную [24]. К ее достоинствам относятся безусловная устойчивость, возможности применения как для двух-, так и для трехмерных задач. [c.117] Другой подход, называемый счетом на установление , заключается в определении решения стационарной задачи путем моделирования процесса выхода в стационарный режим нестационарного температурного поля, которое рассчитывается по какой-либо экономичной разностной схеме. При этом приходится делать определенное число шагов по времени. Общие затраты машинного времени равны произведению числа шагов по времени J на затраты на одном шаге. При использовании экономичных схем затраты на расчет поля на одном шаге пропорциональны числу узлов сетки К- Поэтому общие затраты времени с увеличением числа узлов растут медленнее, чем при решении стационарной системы с ленточной матрицей. Кроме того, при счете на установление нет необходимости хранить в памяти матрицу А, содержащую LK элементов. [c.118] Вернуться к основной статье