ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение нелинейных уравнений из "Применение ЭВМ для решения задач теплообмена " Аналогичные с позиций вычислительной математики задачи возникают для многих точных решений задач теории теплопроводности и конвективного теплообмена. Поэтому далее рассмотрим методы решения нелинейных уравнений, методы численного интегрирования, а также приведем некоторые рекомендации по программной реализации точных аналитических решений. [c.53] Описанную процедуру иллюстрирует рис. 2.2. [c.54] Прекращать вычисления можно не только по разности (Ь — а), но и по абсолютному значению / (с). Но обычно этот способ менее надежен. Например, в нашем случае (см. рис. 2.1) при корнях, близких к п — 1)л, величина / ( х) может быть достаточно большой даже при узких интервалах [а, Ь]. [c.54] Хотя метод половинного деления может гютребовать большее число итераций по сравнению с другими методами, он всегда гарантирует получение искомого решения. Поэтому если вычисление одного значения / (fi) в программе происходит за небольшое время, то можно смело использовать этот метод. [c.54] После проведения k итераций ширина первоначального интервала, в котором находится корень, убывает в 2 раз. Так, для нашего интервала шириной л/2 1,57 после десяти итераций погрешность вычисления корня будет около 0,0015. [c.54] Кроме того, поскольку функция / ( i) на левой границе интервалов всегда отрицательна, для построения нового интервала достаточно проверить знак / (с) если / (с) 0, то с становится новой левой границей, если / (с) О, то новой правой. Обратим внимание, что погрешность е следует задавать так, чтобы не слишком приблизиться к (п — 1)я при малых числах Bi и не вызвать переполнения порядка при вычислении tgjx. Логическая структура программы подробно пояснена в f(/jtj комментариях к тексту. [c.55] В результате корень уравнения находится как предел последовательности, вычисляемой по формуле (2.16). Можно доказать, что если / (fi.) = О, / (fj.) О, а / непрерывна, то около корня ц существует интервал, при попадании в который начального приближения метод сходится. Поэтому основная трудность реализации метода Ньютона состоит в выборе начального приближения Обычно этот выбор производится с помощью какого-нибудь безусловно сходящегося алгоритма, который может быть основан, например, на методе половинного деления. После определения выполняется переход на ньютоновские итерации, имеющие более быструю сходимость. [c.55] На рис. 2.4 показано, что для нашей функции / (jx) — (2.15) итерации по методу Ньютона всегда сходятся при выборе начальной точки левее корня j. , но могут привести к выходу из интервала при выборе правее корня. [c.56] Итерационный процесс для варианта 3 будет всегда расходиться, так как ф ( х) 1. Варианты 1 и 2 при некоторых числах Bi в некоторой окрестности точки (2л — 1)я/2 могут давать сходящееся решение. [c.57] Вернуться к основной статье