ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений из "Применение ЭВМ для решения задач теплообмена " Это требование к разностной схеме называют условием сходимости. Для сходимости разностной схемы необходимо и достаточно выполнения двух других условий — аппроксимации и устойчивости, которые будут пояснены ниже на примере схем Эйлера. [c.28] Теперь перейдем к рассмотрению наиболее распространенных методов численного решения задачи (1.29), (1.30). К ним относятся методы, основанные на разложении функции Т (т) в ряд Тейлора (наиболее распространенная схема этого вида — схема Эйлера) методы Рунге—Кутта линейные многошаговые методы. [c.28] 33) вытекает, что значение вычисляется на основе значения и для предыдуш,его момента времени по явной формуле. Подобные схемы называются явными. Зная из начального условия (1.30) значение и = Го в момент времени т О, легко по формуле (1.33) последовательно вычислить значения и ,. .., и- во все последующие моменты времени. [c.29] Если же / (т, Т) — нелинейная функция Т, то приходится решать на каждом шаге уравнение (1.34) каким-либо итерационным методом. [c.29] Рассмотрим теперь вопрос о погрешностях численных решений, получаемых по явной и неявной схемам Эйлера. Для этого введем понятия аппроксимации и устойчивости. [c.29] В этом случае говорят, что разностная схема (1.33) имеет первый порядок аппроксимации. Нетрудно убедиться, что неявная схема Эйлера (1.34) также имеет первый порядок аппроксимации. [c.30] При Ат 21гпо разностное решение ui будет представлять собой осциллирующую функцию, амплитуда колебаний которой неограниченно возрастает с увеличением при движении вдоль оси т. Таким образом, погрешность решения по явной схеме также неограниченно возрастает. Такое явление называется неустойчивостью разностной схемы. [c.31] Разностное решение W, найденное по неявной схеме (1.41), монотонно убывает с увеличением /, и погрешность е/ Г/—остается ограниченной при любом шаге Дт. [c.31] Более подробно с проблемой устойчивости разностных схем для решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно ознакомиться по книге 129]. [c.31] Таким образом, неявная схема Эйлера устойчива при любых значениях Дт, или безусловно устойчива. Явная схема устойчива лишь при выполнении ограничения на значение шага (1.42), или условно устойчива. При попытках проводить расчеты с шагами Дт, превышающими предельно допустимые из условия устойчивости значения, происходит раскачка ( разболтка ) разностного решения, приводящая к абсурдным числовым результатам или даже к машинному останову из-за переполнения разрядной сетки. [c.31] Возникает вопрос, насколько затрудняет проведение расчетов ограничение, накладываемое на шаг Ат в явной схеме. Разумеется при численном решении одного однородного уравнения абсурдно пытаться вести интегрирование с шагом Дт, вдвое превышающим постоянную времени тела. Однако при решении системы уравнений теплового баланса, описывающей нестационарный тепловой режим системы тел с сильно отличающимися постоянными времени, такая ситуация может возникнуть. Если время переходного процесса всей системы определяется телами с большой тепловой инерцией, то может появиться необходимость проводить расчет с шагом Дт, который превышает постоянные времени тел с малой тепловой инерцией. Действительно, если выбрать шаг из условия Дт 2/mmax. /п ,ах — максимальный из темпов охлаждения отдельных тел, то может потребоваться чрезвычайно большое число шагов для расчета дсего нестационарного процесса. [c.31] Использование схем, подобных (1.44), затруднено тем, что требуется вычислять производные от функции / (т, Т), и в настоящее время они применяются не часто. Поэтому возникает необходимость в построении схем с высоким порядком точности, которые не содержали бы производных от / (т, Т). К таким схемам относятся схемы Рунге—Кутта. [c.32] Порядок точности разностной схемы можно повысить, если использовать более сложные квадратурные формулы, в которых производная / (т, Г) вычисляется не в одной, а в нескольких точках отрезка Itj, Tj+,1. При таком подходе возникает задача определения приближений / и соответственно решения и в этих промежуточных точках. Эти приближения вычисляются последовательно по мере продвижения по отрезку [Tj, Tj+,] от точки Tj к точке Tj+i. Так как при этом согласно (1.29) функция/(т, Т) равна производной от решения Т (т), то приближения для решения и строятся на основе оценок значений его производной — значений функции / (т, и). Поэтому в окончательных формулах приближение для / (т. Г) в определенной точке выражается через приближения / (т, Т) в предыду1цих точках, см. ниже формулы (1.47), (1.48). [c.32] Нетрудно доказать, что погрешность аппроксимации построенной схемы (1.46), (1.47) равна г з/ = О (Ат ). [c.33] Рассмотренная схема являегся простейшей двухэтапной схемой Рунге—Кутта. В ней интеграл определяется по двум точкам интервала [т , и используются два вычисления функции / (т, и) на одном шаге по времени. В общем случае при использовании для определения интеграла /j j+i т точек на интервале [xj-, Xj+il получается m-этапная схема Рунге—Кутта. Первая точка для вычисления оценки производной f (х, и) всегда совпадает с Xj, а остальные располагаются оптимальным образом с точки зрения обеспечения наивысшего при данном т порядка аппроксимации. [c.33] Здесь оценки производной вычисляются 4 раза в точке х , дважды Б точке Xj + Ах/2 и в точке x +i, а для вычисления интеграла используется квадратурная формула Симпсона. [c.33] Схемы Рунге—Кутта (1.47) и (1.48) явные и обладают условной устойчивостью. Например, у схемы четвертого порядка условие устойчивости, проверяемое на модельной задаче (1.38), выполняется только при Ат 2,8/то. [c.33] Рассмотренные два вида схем обладают общей чертой — при определении значения в узле x +j используется только значение и/ в предыдущем узле Xj. Такие схемы называют одношаговыми. Ясно, что в общем случае возможно для определения ui+ использовать не только и , но и ui , и т. д. В этом случае мы приходим к многошаговым методам, среди которых наибольшее распространение получили линейные. [c.33] Остановимся на ряде особенностей многошаговых (при /г 2) методов по сравнению с одношаговыми k = 1). [c.35] С точки зрения сокращения затрат машинного времени для одного шага новый способ предпочтительнее, поскольку в схемах Рунге— Кутта вычисленные на промежутке [ту, Tj+J значения / (т, и) не будут использованы на следующем шаге от Xj+i до т основные затраты времени связаны с вычислением этих значений. В многошаговом же методе при вычислении мы не сможем использовать только значение f в наиболее удаленной точке, участвовавшей в определении значения Ш + . Остальные значения функции / в точках Xj, можно использовать и при вычислении и/+ . Однако в целом сопоставление затрат машинного времени нужно проводить, учитывая общее число шагов J, необходимое для достижения заданной погрешности. [c.35] Вернуться к основной статье