ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Удлинения стержня и закон Гука из "Сопротивление материалов " Эта величина называется относительным удлинением стержня. [c.37] Заметим, что вследствие равномерного распределения напряжений по сечению удлинения для всех элементарных отрезков аЬ (рис. 21), взятых на участке dz, оказываются одинаковыми. Следовательно, если концы отрезков до нагру-л ения образуют плоскость, то и после нагружения стержня они образуют плоскость, но смещенную вдоль оси стержня. Это положение может быть взято в основу толкования механизма растяжения и сжатия и трактуется как гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Если эту гипотезу принять как основную, то тогда из нее, уже как следствие, вытекает высказанное ранее предположение о равномерности распределения напряжений в поперечном сечении. [c.37] Закон Гука представляет собой простейшую и очевидную аппроксимацию наблюдаемой в опытах зависимости удлинения от напряжения. Естественно, что точность этой аппроксимации определяется в Первую очередь тем, сколь широкий диапазон изменения напряжения имеется в виду. Всегда можно подобрать достаточно малый интервал напряжений, чтобы в его пределах функцию е=/(а) можно было бы с заданной точностью рассматривать как линейную. И конечно, для разных материалов это выглядит по-разному. Для некоторых материалов, таких как, например, сталь, закон Гука соблюдается с высокой степенью точности в широких пределах изменения напряжений. Для отожженной меди, для чугуна этот интервал изменения напряжений существенно меньше. В тех случаях, когда закон Гука явно не соблюдается, деформацию задают в виде некоторой нелинейной функции от напряжения е=/(о) с таким расчетом, чтобы эта функция отвечала кривой, полученной из испытания материала. [c.38] Таким образом, силовая и температурная деформации рассматриваются как независимые. Основанием этому служит экспериментально установленный факт, что модуль упругости при умеренном нагреве слабо меняется с температурой, точно так же как и величина а практически не зависит от напряжения а. Для стали это имеет место до температуры порядка 300—400°С. При более высоких температурах необходимо учитывать зависимость Е от t. [c.39] Рассмотрим примеры определения напряжений и перемещений в некоторых простейших случаях растяжения и сжатия. [c.39] Пример 1.1. Требуется выявить закон изменения нормальных сил, напряжений и перемещений по длине ступенчатого стержня, нагруженного на конце силой Р (рис. 22, а), определить числовые значения наибольшего напряжения и наибольшего перемещения, если Р=50 кН, F=2 см, 1= м. Материал — сталь, Я=200 ГПа. Поскольку сила Р велика, собственный вес стержня можно не учитывать. [c.40] Из условий равновесия любой отсеченной части стержня вытекает, что нормальная сила Ы в каждом сечении стержня равна внешней силе Р. Построим график изменения силы N вдоль оси стержня. Графики подобного рода называются в сопротивлении материалов эпюрами. Они дают наглядное представление о законах изменения различных исследуемых величин. В данном случае эпюра нормальной силы представлена на рис. 22, б прямоугольником, поскольку /V=P= onst. На рисунке эпюра N заштрихована линиями, которые проведены параллельно откладываемым на графике значениям N. В данном случае значение силы N откладывается вверх, штриховка проведена вертикально. [c.40] Для того чтобы получить эпюру напряжений о, надо ординаты эпюры N изменить обратно пропорционально величине F (рис. 22, в). Большее значение а равно сг ах = PiPmm = 50 кН/2 см = 250 МПа. [c.40] Определим перемещение и (см) каждого сечения стержня по направлению силы Я. Перемещение 2-го сечения равно удлинению отрезка длиной г. Следовательно, согласно формуле (1.6) и=Рг/(ЕР). Таким образом, на участке изменения г от нуля до I перемещение и пропорционально г (рис. 22, г). На втором участке стержня перемещение равно u=Pl/(EF)-hPzt/(2EF). Зависимость и от также будет линейной. Наибольшее перемещение имеет торцевое сечение стержня тах= =ЗР1Ц2ЕР) 1,87 мм. [c.40] Пример 1.2. Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений для свободно подвешенного цилиндрического стержня, нагруженного силами собственного веса (рис. 23). Длина стержня I, площадь поперечного сечения F, удельный вес материала у. [c.40] Пример 1.3. Колонна (рис. 24) нагружена силой Р и силами собственного веса. [c.41] Требуется подобрать такой закон изменения площади поперечного сечения F=F z), чтобы напряжения во всех сечениях были одинаковы и равны P/Fq. Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений. [c.41] Построение эпюр удобнее всего начинать с эпюры напряжения а, которое вдоль оси колонны по условию не меняется (рис. 24). Поскольку напряжение постоянно, то постоянным будет и относительное удлинение е. Поэтому перемещение и возрастает пропорционально расстоянию от основания колонны. [c.42] Нормальная сила в сечении г равна N=aF=Pe . Эпюра N показана на рис. 24. [c.42] Пример 1.4. Кронштейн AB нагружен на конце силой Р (рис. 25). Требуется подобрать поперечное сечение стержней АВ и ВС с таким расчетом, чтобы возникающие в них напряжения имели одинаковую заданную величину а. При этом угол а должен быть выбран из условия минимального веса конструкции при заданном вылете кронштейна I. [c.42] Из условий равновесия узла В (рис. 25) находим нормальные силы в стержнях Ni=P tg а, N P/sin а. [c.42] Вернуться к основной статье