ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод конечных элементов в механике разрушения из "Механика упругопластического разрушения " Решение задач механики деформируемого тела для областей с разрезами (трещинами) связано с известными математическими трудностями вследствие наличия особых (сингулярных) точек. Большинство этих задач эффективно может быть решено только с применением ЭВМ. Среди вычислительных методов в задачах механики разрушения в настоящее время наиболее широкое распространение получил метод конечных элементов (МКЭ). Произошло это вследствие универсальности метода, хорошо разработанной теории и наличия значительного количества вычислительных программ, реализующих МКЭ. Немаловажным обстоятельством является то, что конечный элемент представляет собой объект хорошо понятный инженеру, что особенно полезно при моделировании таких явлений, как развитие трещины. [c.82] Здесь малыми буквами обозначены соответствующие локальные величины. [c.83] Здесь [В] — матричный дифференциальный оператор, [О] — матрица упругости, бт. — вектор термических или других начальных деформаций. [c.83] При решении нелинейных задач уравнение (13.1) записывают в форме приращений, а решение получают последовательным суммированием ряда приращений, полученных на каждом шаге счета. [c.84] Далее рассмотрим особенности применения МКЭ в линейной и нелинейной механике разрушения. [c.84] Здесь г, 0 — полярные координаты точки /ц, с()ц, Fi, — комбинации тригонометрических функций. Сопоставление полей перемещений (13.2), (13.3), с перемещениями (13.4) показывает, что при использовании линейных элементов трудно ожидать быстрой сходимости к точному решению. [c.85] Поскольку перемещения g пропорциональны р, то достигнуто желаемое распределение перемещений. Смещением промежуточного узла можно продолжить моделирование асимптотики перемещений и в элементах, неносредствепно не примыкающих к вершине трещины [166]. [c.86] Коэффициенты Сп, определяются перемещениями узлов элемента п, следовательно, число членов разложения равно числу узлов элемента. ] едостатком таких элемептов является несовместность перемещений прп их стыковке с обычными элементами, имеющими полиномиальные интерполирующие функции. [c.87] Преодолеть этот недостаток можно с помощью матрицы жесткости, получаемой па основе смешанного вариационного принципа, когда вводятся независимые функции перемещений внутри элемента и на границе [350]. [c.87] Специальный сингулярный элемент с вершиной трещины. [c.87] Процедура построения трехмерных сингулярных элементов аналогична двумерному случаю. При этом моделирование асимптотики осуществляется в плоскости, перпендикулярной фронту трещины, а элементы чаще всего имеют вид трехгранной призмы [421]. [c.88] Определение коэффицие 1тов интенсивности напряжений. Все известные способы вычисления коэффициентов интенсивности напряжений можно разделить на асимптотические и энергетические. Вначале рассмотрим способы вычисления Ki на примере симметричной деформации берегов трещины, а в дальнейшем обобщим эти методы на случаи плоских несимметричных трещин и трехмерных задач. [c.88] Расчет Ki с приемлемой точностью без использования специальных элементов предполагает такие мелкие сетки, что становится очевидной необходимость лучшего моделирования напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины. На начальном этане использования МКЭ в механике разрушения предпринимались попытки обойтись без специальных элементов в прямых методах (например, двухступенчатый расчет на грубой сетке определяются перемеп] ения для всего тела, затем рассчитывается малая область у вершины трещины с граничными условиями, полученными из первого расчета). Однако это не нашло широкого распространения из-за сложности достижения требуемой точности. [c.89] Поскольку обычно напряжения вычисляют путем дифференцирова-пня перемещений, то первая формула (13.8) дает большую погрешность чем вторая. Поэтому почти всегда асимптотические методы основывают на перемещениях п стремятся повысить точность результата за счет различных процедур экстраполяции. [c.89] Здесь I — длина краевой трещины или полудлина внутренней трещины. Поправка r/(2Z) позволяет улучшить значения К , определяемые по перемещениям узлов, отстоящих па некотором расстоянии от вершины трещины. [c.90] Здесь потенциальная энергия записана для одного конечного элемента, а для всего тела ее можно получить простым суммированием по элементам или переходом но правилам сборки от локальных к глобальным величинам. [c.90] В дальнейшем при закрытии трещины перемещения тела будут определяться суммированием исходного поля с полями перемещений от нескольких вспомогательных сил Fu величины которых являются решением системы линейных алгебраических уравнений. [c.91] Для вычисления коэффициента интенсивности напряжений можно также использовать /-интеграл (см. (8.6)). [c.92] Здесь S — площадь внутри контура, а — коэффициент термического расширения, Т — температура. [c.92] Вернуться к основной статье