ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Точные решения уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости из "Методы подобия и размерности в механике " Соображения теории размерности могут оказать большую помощь при математическом решении некоторых физических задач. В этом и следующих параграфах мы приведём примеры такого приложения теории размерности. [c.113] Рассмотрим задачу о диффузии вихрей в вязкой несжимаемой жидкости в предположении, что движение жидкости плоскопараллельное и жидкость занимает всю плоскость ). Рассматриваемое движение — неустановившееся. Пусть в начальный момент времени f = О жидкость движется потенциально везде, за исключением полюса О, представляющего собой след на плоскости движения бесконечного прямолинейного концентрированного вихря с циркуляцией Г. [c.113] Примем, что движение обладает осевой симметрией. Обозначим через Q угловую скорость части жидкости. [c.113] Задача заключается в определении величины Q как функции от радиуса г и времени t. [c.114] Из линейности уравнения (3) и начального условия следует, что Q пропорционально Г, т. е. [c.114] Обозначим через Ь г, t) скорость частиц жидкости. Движение жидкости обладает осевой симметрией, причём скорость частиц жидкости направлена перпендикулярно к радиусу-вектору, проведённому в рассматриваемую точку из полюса О. [c.115] В дальнейшем воспользуемся сферической системой координат. [c.116] Тогда искомые функции можно представить в виде г г = у/( Д. 6). = 6). [c.116] В такой форме можно представить и рассматривать самое общее решение уравнений (2.1). [c.116] Это условие означает, что размерность постоянной А представляет собой некоторую степень размерности коэффициента кинематической вязкости v. [c.117] Помимо этого предположения, примем ещё, что изучаемые движения обладают осевой симметрией, так что переменная I несущественна.. [c.117] Эти формулы устанавливают зависимость поля скоростей и давлений от переменной г. [c.117] Общее решение этой системы уравнений зависит от шести произвольных постоянных. [c.117] Перед изучением решений системы уравнений (2.4) отметим некоторые общие свойства рассматриваемых движений вязкой жидкости. [c.117] Из общих соображений теории размерности, а также непосредственно из уравнения (2.5) следует, что различные линии тока подобны между собой. [c.118] Обозначим через Q объёмный расход жидкости и через J — объёмный поток количества движения сквозь замкнутую поверхность S, т. е. [c.118] Размерности и / представляются формулами [ ] = L3T-i, [/] = L T-2. [c.118] При стягивании поверхности S к полюсу в точку получим, что величины Q vi J могут зависеть только от коэффициента v и от постоянной А, размерность которой выражается через размерность v. Так как размерности Q та ч независимы, то очевидно, что. расход равняется либо нулю, либо бесконечности. Размерность J выражается через размерность коэффициента V, поэтому величина 7 может быть конечной. [c.118] Вернуться к основной статье