ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Линейные и однородные операторы. Характеристические функции из "Динамика процессов химической технологии " Здесь Wo t) и Wi (t) —скорости газа и жидкости в абсорбере (рассматривается общий случай, когда Wa и Wl меняются во времени) в (х, t),Q (x, t) — концентрации распределяемого компонента в жидкости и газе, соответственно 0Q (0l) — равновесная концентрация. [c.38] Ось пространственной координаты х совпадает с осью абсорбера и направлена снизу вверх точка х = 0 — нижняя, точка х = 1 — верхняя. В абсорбере, описываемом уравнениями в частных производных (2.1.1), в которые входят параметры 0о, 0l, 0G, распределенные по пространственной координате х, естественным образом выделяются точки входа в аппарат и выхода из него по каждому из потоков. Для газа точкой входа в аппарат является х — 0, точкой выхода — х=1, для жидкости точкой входа —J = /, а точкой выхода—х = 0. Аналогичное выделение точек входа и выхода может быть легко сделано в любой математической модели с параметрами, распределенными по одной пространственной координате. В соответствии с этим в каждой модели технологического объекта можно выделить три группы параметров. [c.38] Во вторую группу входят физические величины, определяющие процесс, который проходит внутри технологического объекта (в области О С X с I), и зависящие от заданм входных параметров. Их называют внутренними параметрами. В данном примере такими параметрами являются профили концентраций распределяемого компонента в жидкости и газе o(x,f), 0i.(x,() и равновесная концентрация 0с (0l). Часто к этой же группе параметров относят константы, входящие в систему уравнений, т. е. величины 1, а также начальные условия вао( ) и 0lo(x). [c.39] Подобно тому, как для задания функции необходимо указать область определения этой функции, для задания оператора не.рбхо.%имо указать множество функций, к которым этот оператор может быть применен. [c.40] Дадим строгое определение функционального оператора. Функциональным оператором называется правило, по которому каждой функции u(t) из некоторого множества функций U ставится в соответствие некоторая функция v(t) из множества функций V. Для обозначения оператора обычно используется одна из следующих записей v = Aw, А и U v V) , А и v, и v. Обычно говорят, что оператор А действует из множества U в множество V или что оператор А переводит функции из множества U в множество V. Множество U называют множеством задания оператора. [c.40] Нетрудно проверить, что эти множества функций замкнуты относительно операций сложения и умножения на вещественное число, т. е. действительно являются линейными пространствами. Так, если на промежутке [О, о] заданы кусочно-непрерывные функции f(t) и g(t), т. е. f(t) е K[0,toj, g(t) е К[0, tol, то и функции h(t) = f(t) -j- g(t), zi(t)=af(t) и Z2 t)=a,g t) при любом вещественном а являются кусочно-непрерывными и, значит, принадлежат множеству /С [О, о]. [c.41] Отметим, что во всех рассмотренных пространствах промежуток задания функций может быть не только конечным, но и бесконечным, вида [ о,+о°), (— о] или (—с ,-f ). [c.41] В дальнейшем не будем конкретизировать пространства функций, которые используются в примерах. Будем всегда считать их такими, что с любой функцией из этого пространства можно проделать все операции, которые встречаются в математической модели. Так, если математическая модель объекта представляет собой систему уравнений (2.1.1) с условиями (2.1.2), (2.1.3), то будем считать, что функции a x,t) и L x,t) берутся из пространства кусочно-непрерывных по переменным х и t функций (на промежутке [О, 1] по л и на промежутке [О,- -оо] по t), а функции Wo(i), wl(0, авх(0, SiBxit) из пространства /([О, оо кусочно-непрерывных по t функций (для реальных абсорберов функции We(i) и WL(t) всегда непрерывны). [c.42] Рассмотрим теперь наиболее часто встречающиеся функциональные операторы. [c.42] Тождественный оператор. Пространства U и V совпадают и U=V = K[0,to]. Тождественный оператор Е каждой функции u(i) из /С[0, о] ставит в соответствие ту же самую функцию u t), т. е. v(t) = Eu t) — u t). [c.42] просто сдвигает u t) на величину т вправо по оси абсцисс. [c.42] Приведем простой пример технологического объекта, функциональным оператором ко- орого является оператор сдвига. [c.42] Интегральные операторы вида (2.1.8) играют большую роль в теории функциональных операторов, представляя собой универсальную форму записи линейных операторов. Часто задача исследования свойств оператора некоторого объекта решается с помощью представления этого оператора в форме (2.1.8) и дальнейшего изучения свойств функции Q t,x), которая является важной характеристикой всякого технологического объекта, поскольку знание ядра интегрального оператора Q( , т) позволяет по любой входной функции объекта u(t) с помощью соотношения (2.1.8) определить соответствующую выходную функцию у( ). [c.43] Операторы, задаваемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. Операторы этого вида, наряду с операторами, задаваемыми системами уравнений в частных производных, наиболее часто встречаются в технических приложениях, поскольку большинство технологических объектов описывается именно обыкновенными дифференциальными уравнениями или уравнениями в частных производных. [c.43] Величина to здесь произвольна, и даже можно положить to = оо. [c.44] В объектах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, все параметры являются функциями только времени, и делятся на входные и выходные лишь по их независимому или зависимому заданию, поэтому входные параметры всегда входят в дифференциальные уравнения математической модели. В отличие от этого в объектах, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, внутренние параметры зависят от пространственной переменной и входные параметры относятся к одной из точек (обычно к точке = 0). В таких системах входные параметры, как правило, задаются в виде граничного условия на входе в аппарат (а = 0). Кроме того, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, входные параметры могут непосредственно входить в уравнения математической модели. [c.45] Приведенный пример показывает, что функциональный оператор объекта, математическая модель которого включает систему уравнений в частных производных, является многомерным оператором. Если система состоит из п уравнений первого порядка, то в математическую модель должно входить п граничных условий, которые содержат п входных функций. Таким образом, пространство задания оператора U будет пространством -мерных вектор-функций. Это обстоятельство существенно усложняет исследование функционального оператора. Поскольку все методы исследования, излагаемые далее, относятся только к одномерным операторам, возникает необходимость сведения задачи исследования многомерного оператора объекта к задаче исследования одномерных операторов. [c.46] В рассматриваемом случае учитывая последовательный способ соединения частей, можно записать оператор всего объекта как произведение операторов, описывающих отдельные части. [c.48] Б предыдущем разделе были рассмотрены различные типы функциональных операторов, наиболее часто встречающихся в технических приложениях. Теперь подробно опишем методы исследования и основные характеристики этих операторов. Нужно отметить, что далеко не для любого оператора существует достаточно эффективный метод исследования. Наиболее просто и полно исследуется только класс операторов, называемых линейными. Фактически только для линейных операторов и существуют исчерпывающие и универсальные методы, позволяющие достаточно точно выяснить все их характеристики. [c.48] При этом говорят, что для оператора Л справедлив принцип суперпозиции. [c.48] Вернуться к основной статье