ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задачи для тел с разрезами из "Методы математической теории упругости " На бесконечности напряжения полагаем равными нулю (если таковые отличны от нуля, то следует путем наложения тривиального решения перейти к однородному условию). Ограничения, которые необходимо наложить на функции F+ q+) и F (q-), будут вытекать из условия применимости используемого аппарата. [c.612] Поставленная задача принадлежит классу вырожденных задач, которые не охватываются теорией, изложенной в 1—3. Это связано не только с наличием угловой линии, но главным образом с тем обстоятельством, что привлекаемая вспомогательная задача 1+ (для построения теории задачи II , особым случаем которой является сформулированная выше) оказывается задачей для области, вырождающейся в поверхность, что лишено смысла. [c.612] И ИХ можно решать тем или иным способом. В пределе же (/- -оо) получаем решение, которое следует трактовать как решение для пространства с разрезом. Если эти решения строить на основе метода потенциалов (уравнение (2.3)), то с ростом / сходимость последовательных приближений будет ухудшаться и в пределе соответствующий ряд разойдется. Несколько ниже дается объяснение этому факту. Аналогичные трудности возникают, если за основу брать уравнение (2.5). Правда, здесь в предельном случае в нуль обращается правая часть. Несмотря на сказанное, представляется возможным [164, 169] из анализа решений для сравнительно тонких полостей извлечь достоверное суждение о концентрации напряжений непосредственно в окрестности кромки разреза. [c.613] Далее опустим щтрих в смещениях и будем работать с условиями (6.1) и (6.2), исходя из предположения о совпадении функций 7+(9) и р-(д), что дает основание опустить у них индекс. [c.613] Перейдем к изложению расчетных схем для решения функционального уравнения (6.4). Будем, естественно, исходить из какой-либо дискретизации поверхности S на малые области S, (/= 1, 2,. .., jV) и кусочно-постоянного представления функции (f q), отнесенного к центральным точкам областей qj, которые, как и ранее, будем называть опорными. Будем требовать выполнения уравнений (6.4) лишь в опорных точках. [c.614] Трудность непосредственной реализации уравнения (6.4) заключается в том, что его нельзя представить в виде интегрального уравнения и, следовательно, свести процедуру приближенного решения к кубатурам. Опишем несколько приемов построения приближенных алгоритмов. [c.614] вообще говоря, может присутствовать и слагаемое с ру , если вводилась вторичная дискретизация, поскольку значение ДОЛЖНО было тогда использоваться при интерполировании плотности в дополнительных областях, примыкающих к точке /о. Очевидно, что есть матрица третьего порядка. [c.615] Для сохранения точности при вычислении напряжений для малых значений / (а они обязательно должны присутствовать, чтобы не происходила потеря точности и при экстраполяции) необходимо осуществлять вторичную дискретизацию области 5 . Если при этом воспользоваться интерполяцией функции ф( 7), то в сумме (6.7) будет отличен от коэффициента не только коэффициент а/ / но еще несколько коэффициентов, соответствующих областям 5/, расположенным в непосредственной близости к точке /о. [c.615] Естественно, что обеспечение точности при вычислении напряжений в точках р/ и сам процесс экстраполирования требуют тщательности расчетов. В таблице 11 приведены результаты расчетов модельного примера. Была взята квадратная площадка и на ней задана вектор-функция постоянной (единичной) величины, направленная по нормали к площадке. Был построен потенциал двойного слоя, имеющий ее своей плотностью, и в точках, расположенных на нормали к центру квадрата и на разных расстояниях, была вычислена компонента Ог (полагалось, что плоскость хОу лежит в плоскости квадрата). При вычислении напряжений осуществлялась вторичная дискретизация области на равных квадратиков. [c.616] Таким образом, убеждаемся, что соответствующим подбором числа п можно добиться стабильных значений напряжений в точках, расположенных весьма близко к поверхности. [c.616] В таблице 12 приведены полученные экстраполяцией значения напряжений (а фактически значение коэффициента / ./,) при выборе различных точек, используемых в расчете. [c.616] Из приведенных данных следует, что процесс экстраполяции оказывается стабильным и его точность может контролироваться. [c.616] Вернуться к основной статье