ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегральные уравнения основных плоских задач из "Методы математической теории упругости " В 3 ГЛ. V были построены и исследованы интегральные уравнения плоской задачи теории упругости на основе аппарата функций комплексного переменного. Здесь же строится теория [18], аналогичная изложенной выше (в 1, 2) теории, опирающейся на метод потенциалов. Получаемые результаты будут в значительной степени аналогичны соответствующим ре-зз льтатам пространственной задачи. [c.588] Следует отметить, что плоскую задачу теории упругости уместнее рассматривать как особый случай пространственной задачи, а не как ее частный случай (как, например, осесимметричную задачу), поскольку, трактуя ее как пространственную, приходим к специфическим особенностям. Во-первых, граничная поверхность (являющаяся цилиндрической) простирается в бесконечность. Во-вторых, напряжения в направлении вдоль образующей постоянны и, следовательно, не стремятся к нулю в бесконечности. В-третьих, суммарные усилия, приложенные к границе, как правило, бесконечны, что приводит к неограниченности смещений. [c.588] Чтобы не дублировать предыдущие параграфы, будем достаточно подробно рассматривать установившиеся колебания, а в задачах статики акцентировать внимание лишь на различиях особенностей для плоского и пространственного случаев. [c.588] Определяемые этой матрицей амплитуды представляют собой регулярные всюду функции, исключая точку г == О, где имеет место логарифмическая особенность. На бесконечности же выполняются условия излучения, которые в плоском случае, так же как и в пространственном, удобно выразить, используя соленоидальную и потенциальную составляющие (см. (4.38) гл. III). [c.589] Элементы матрицы й(р, р, ш) являются регулярными при г = 0 функциями, имеющими логарифмическую особенность при (0 = 0. [c.589] Матрицы Г(р, р, со) и Г(р, р) используются для построения колебательного (У(р, ср, со)) и статического ( (р, ф)) потенциалов простого слоя. [c.589] Матрица Ь р,р,а) является ограниченной при со = 0, а две первые матрицы в представлении (4,6) соответствуют статическому случаю. Матрицы Гг(р, 7, со) и Ti(p,q) используются при построении колебательного W p,q,(i))) и статического W p,q)) потенциалов двойного слоя. [c.590] Для введенных выше потенциалов сохраняются все доказанные в 1 (или упомянутые там) предельные соотношения (непрерывность потенциала простого слоя и оператора напряжений от потенциала двойного слоя и соотношения между скачком потенциала двойного слоя и оператора напряжений от простого слоя и нх плотностью). [c.590] Заметим, что оказывается необходимым модифицироватыю-нятие о регулярных в бесконечности решениях. В случае статики требуется ограниченность решения в бесконечности, а в случае колебаний по-прежнему (как и в пространственных задачах) необходимо выполнение условий излучения, но они уже имеют иную структуру. [c.590] Верхний знак соответствует задаче 1+, а нижний —задаче 1 ). [c.590] Поэтому к системе (4.7 ) применимы альтернативы Фредгольма— числа собственных функций исходной системы и союзной совпадают между собой. [c.591] Системы (4.10) и (4.7) являются союзными, и поэтому число их собственных функций одинаково (о равенстве нулю индекса уже говорилось). [c.591] Кроме того, еще должны выполняться следующие ограничения контур должен быть контуром Ляпунова, а краевые условия должны принадлежать классу Г. — Л. [c.592] В случае установившихся колебаний (для определенных дискретных значений параметра со) решения внутренних задач при однородных краевых условиях оказываются отличными от тривиальных. Поэтому будем исходить из того, что каждое из уравнений (4.13) и (4.14) имеет по п собственных функций, которые обозначим следующим образом. [c.593] Если этот определитель равен нулю, то отсюда будет следовать линейная зависимость между векторами У1(Р) У2(Р). [c.594] Поскольку этот потенциал тождественно равен нулю в области П+, предельное значение оператора напряжений от него изнутри также равно нулю. [c.594] По обобщенной теореме Ляпунова — Таубера получаем, что предельное значение извне оператора напряжений также равно нулю. Тогда по теореме единственности (с использованием условий излучения) следует, что потенциал р) равен нулю и в области 0-. Следовательно, (о(с/) = 0, что противоречит предположению о линейной независимости функций у/(Р). [c.594] Вернуться к основной статье