ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Методы численной реализации из "Методы математической теории упругости " Можно показать [26], что ядро интегрируемо с квадратом и поэтому, применяя теорию симметричных интегральных уравнений Фредгольма, приходим к доказательству существования (когда область конечна) дискретного спектра собственных значений (иначе говоря, частот собственных колебаний), которые являются вещественными и, более того, положительными числами ). [c.571] Аналогичная ситуация имеет место и для второй основной задачи. [c.571] Теперь для исследования краевых задач строятся сингулярные интегральные уравнения на основе потенциалов простого и двойного слоев (исходя из матрицы (1.33)). Распространение альтернатив Фредгольма на эти уравнения происходит автоматически, поскольку сами уравнения отличаются от уравнений статики наличием регулярных слагаемых. Сложность возникает из-за того, что при определенных значениях частоты собственных колебаний решения однородных задач окажутся не единственными. [c.571] Представляется небезынтересным отметить следующий момент, вытекающий из соответствия между интегральными уравнениями задач 1+ и II . Допустим, число /г есть частота собственных колебаний. Тогда интегральное уравнение задачи 1+ будет иметь нетривиальное решение, но из разрешимости краевой задачи будет следовать, что условия ортогональности выполняются. Ввиду же союзности интегрального уравнения задачи II число также оказывается на спектре, но условия ортогональности здесь не должны выполняться, что и приводит к неразрешимости уравнения. В этом случае необходимо модифицировать представление для амплитуд, введя в него определенные слагаемые [27]. [c.571] Интегралы, присутствующие в уравнениях (2.2), (2.3) и (2.5), являются двумерными сингулярными интегралами, и в соответствии с общей теорией ( 3 гл. I) при их вычислении следовало бы каждый раз вводить локальную систему координат, определяемую пересечением поверхности с координатными поверхностями г = onst, ф = onst цилиндрической системы, ось которой Z совпадает с нормалью к поверхности в той точке, в которой интеграл вычисляется. Этот путь сопряжен с серьезными техническими трудностями, которые становятся еще более значительными при переходе к решению интегрального уравнения, когда вычисление сингулярных интегралов следует проводить в большом числе точек поверхности. Однако учет специфики ядер рассматриваемых интегралов позволил избежать отмеченных затруднений. Один способ [171] заключается в преобразовании этих сингулярных интегралов в несобственные (регулярные), а другой [88,206] базируется на возможности вычисления в явном виде интеграла от ядра, когда элемент поверхности есть плоский многоугольник. [c.572] Если считать, что функции ф( ) принадлежат классу Г.—Л., то очевидно, что интегралы, присутствующие в правых частях, являются несобственными и поэтому для их вычисления можно использовать те или иные известные кубатурные формулы. [c.572] Естественно, что реализация этих соотношений потребует дискретизации поверхности 5, т. е. ее разбиения на малые (элементарные) области 5/ (/=1,2,. ... Щ. Зададим в каждой области по точке ди, которые будем называть опорными. Располагать их в областях можно достаточно произвольно, но целесообразно в центральной части. [c.573] НОЙ К ее значению в опорной точке. Тогда любое слагаемое суммы Дарбу можно представить в виде произведения подынтегрального выражения в опорной точке на площадь соответствующей элементарной области. При этом то слагаемое, которое формально обращается в бесконечность или, точнее говоря, оказывается неопределенным (при совпадении точек д и 1), аннулируется. [c.574] Рассмотрим другой способ вычисления сингулярных интегралов. Обнаружено, что если элементарная область есть плоский многоугольник, то сингулярный интеграл вычисляется в замкнутом виде (при этом предполагается, что плотность постоянна в пределах области). Заметим, что в этом случае изымаемая из рассмотрения часть области (согласно определению сингулярного интеграла) есть круг. Разумеется, использование указанной формулы требует осуществления предварительной полигонализации поверхности (если она первоначально криволинейна). Наиболее просто получается указанный результат, если область является прямоугольником и опорная точка выбрана в его центре. Из формулы (1.29) следует, что скачок предельных значений оператора напряжений равен удвоенной плотности, а из условий симметрии следует, что его значения с разных сторон совпадают по величине и обратны по знаку (поэтому предельное значение оператора напряжений равно самой плотности с учетом знака). Такой прием позволяет сразу найти не только сам интеграл, но и его сумму, включающую внеинтегральное слагаемое. [c.574] В развитии этого направления часто предлагается строить более точные кубатурные формулы [208, 223], отказавщись рассматривать плотность постоянной в пределах элементарной области. При этом, естественно, формулы становятся существенно более громоздкими. [c.574] Касаясь вопроса сложности тех или иных кубатурных формул, нужно заметить, что их построение должно быть связано не только со степенью формально достигаемой точности, но и сочетаться с простотой программирования на ЭВМ и легкостью отладки расчетной схемы. Здесь имеется в виду следующее. Пусть проведены расчеты для некоторой дискретизации. Из анализа полученных результатов может следовать, что на отдельных участках требуется ввести более мелкую дискретизацию. Спрашивается, каков при этом объем дополнительной работы, связанной с переделкой подготовительной информации для программы. Желательно, чтобы такая работа была минимальной. [c.574] Метод последовательных приближений представляется более предпочтительным. Во-первых, из доказанной сходимости этого метода следует, что приближенная его реализация приведет к точному решению, поскольку для той или иной конечной суммы ряда задача сводится к вычислению конечного числа несобственных интегралов, что может всегда быть осуществлено с произвольной точностью ). Во-вторых, сама же реализация метода на ЭВМ требует сохранения в оперативной памяти лишь двух итераций (т. е. 6N чисел, в то время как в методе механических квадратур чисел). [c.575] Отметим еще одно обстоятельство. Расчеты показали (и это обстоятельство находится в соответствии с выводами, следующими из теории резольвенты), что, начиная с некоторого значения п, функции (fniq) ведут себя во всех точках как члены геометрической прогрессии с единым знаменателем (определяемым расположением второго полюса резольвенты). Поэтому при невысокой степени сходимости можно, установив достоверную величину знаменателя, аналитически просуммировать прогрессию и получить тогда точное значение плотности. [c.575] Перейдем к рассмотрению вопроса о влиянии погрешности кубатурных формул на сходимость алгоритма. Очевидно, что в случае задач 1+ и Ц- эта погрешность (если она достаточно мала) не повляет на сходимость (разумеется, если воспользоваться формулами (2.31 )), а приведет к некоторой погрешности решения (аналогично удержанию в рядах конечной суммы). Количественную оценку допустимой погрешности расчетной схемы (гарантирующей сходимость) можно выразить посредством эквивалентного изменения значения параметра X (полагая при этом, что иных погрешностей нет) значение X по модулю не должно превышать второго по величине полюса резольвенты. [c.576] Не составляет труда осуществить их нормировку. [c.576] Отметим, что если интегрирование по углу происходит численно, то требуется, естественно, задавать определенную дискретизацию по углу. При этом необходимо, чтобы эта дискретизация не нарущала симметрии относительно двух плоскостей. Если нулевой меридиан определить углом ф =О, то дискретизация должна быть симметричной относительно ф = О и ф = я/2. В противном случае необходимо пользоваться общей формулой (3.5). [c.577] Условие (3.7) выбрано таким образом, чтобы нагрузка была уравновешенной, однако плоскость 2 = 0 не являлась плоскостью симметрии. Для решения задачи использовались две различные дискретизации по контуру меридионального сечения. [c.577] В первом случае задавалось 19 точек, а во втором — 28, причем переход к большему количеству достигался введением дополнительных точек на участке, где приложена нагрузка. В таблицах 4—7 приведены значения ) компоненты фг в двух точках А н В при различном числе итераций. Координата точки А 2 = —0,6, а координата точки В 2 = 0,5. В этих точках касательные компоненты (согласно (3.7)) Трг = —1,1733 и Трг = = 0,9167. В таблице 4 приведены результаты расчетов при малом числе точек без учета слагаемого (3.6). В таблице 5 приведены результаты расчетов для той же дискретизации, но при учете слагаемого (3.6). В таблице 6 приведены результаты расчетов при большом числе точек без учета слагаемого (3.6) и, наконец, в таблице 7 — результаты расчетов при большом числе точек с учетом слагаемого (3.6). [c.578] При учете же дополнительных слагаемых (таблицы 5 и 7) функции фя(ц) по модулю уменьшаются ) и нет оснований полагать, что процесс разойдется ). [c.579] Остановимся на вопросе о вычислении напряжений и смещений уже после непосредственного решения интегрального уравнения. Собственно говоря, речь должна идти о вычислении напряжений в точках граничной поверхности, поскольку вычисление смещений и напряжений во внутренних точках области сводится к вычислению интегралов с аналитическими ядрами, а вычисление смещений в точках поверхности — к вычислению несобственных интегралов ), которые могут быть вычислены известными методами. Следует, правда, обратить внимание на необходимость в процессе проведения вычислений в точках, расположенных вблизи границы, введения вторичной дискретизации поверхности в зоне, расположенной в окрестности рассматриваемой точки. При этом используемая при вычислениях плотность должна получаться посредством того или иного интерполирования, исходя из полученного решения интегрального уравнения. Искомые значения напряжений и смещений могут считаться определенными с достаточной степенью точности (диктуемой степенью точности решения интегрального уравнения) лишь тогда, когда при вторичной (все более мелкой) дискретизации не произойдут изменения в искомых величинах. [c.580] Вернуться к основной статье