ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегральные уравнения основных пространственных задач из "Методы математической теории упругости " Задаче 1+ соответствует F = —а задаче — F = Fl. [c.557] Значению параметра к = 1 соответствует задача Ц-, а значению параметра к = —1 — задача П+. [c.558] Уравнения (2.5) тождественны уравнениям задачи I, полученным, исходя из представлений смещений, в виде потенциала двойного слоя, отличаясь от них, разумеется, физическим смыслом для искомой функции и значениями правой части. [c.558] Отметим, что в математическом плане не видно каких-либо преимуществ одного из уравнений, (2.3) или (2.5). Определенные соображения относительно этого будут высказаны в 3 при их сопоставлении в плане численной реализации. [c.558] Заметим, что уравнения (2.2) и (2.3) (и равным образом (2.5) и (2.3)) являются союзными друг к другу. Для сингулярных уравнений индекс (разность между числом собственных функций исходного уравнения и союзного к нему) может быть, вообще говоря, произвольным целым числом. Покажем, что для построенных выше сингулярных уравнений индекс оказывается равным нулю. Следовательно [35], будет существовать оператор, который преобразует их в эквивалентные регулярные уравнения второго рода, и поэтому к исходным уравнениям окажутся применимы альтернативы Фредгольма. [c.558] Как указывалось (см. 3 гл. I), необходимым и достаточным условием равенства нулю индекса в случае системы сингулярных уравнений являлось неравенство нулю символического определителя, когда сама символическая матрица эрмитова. Отметим, что при замене переменных аргумент каждого элемента символического определителя испытывает линейное преобразование такое же преобразование испытывает и аргумент самого определителя, в связи с чем множество его значений инвариантно относительно замены переменных. Это обстоятельство позволяет предложить следующий прием исследования. [c.558] Следовательно, для обычных значений коэффициента Пуассона (О о О, 5) он отличен от нуля. [c.559] Поскольку уравнение (2.2) имеет шесть собственных функций при Х = —1, то и союзное уравнение (2.3) будет иметь шесть собственных функций, которые обозначим через фг,. Образуем потенциалы 1 (р, фг ). Поскольку эти потенциалы соответствуют нулевым краевым условиям в напряжениях, то они и представляют собой смещение тела как жесткого целого ). [c.560] Таким образом, установлено, что уравнения (2.2), (2.3) и (2.5) имеют при X = —1 собственные функции. [c.560] Перейдем теперь к рассмотрению задачи 1 . Здесь использование представления смещений в виде потенциала двойного слоя сразу приводит к ограничению на поведение решения в бесконечности ( и(р) ] с/Д ), хотя по постановке задачи такое ограничение и не требуется. Поэтому уравнение (2.2) может оказаться и неразрешимым. Заметим, что само установление этого факта представляет собой достаточно сложную задачу, поскольку необходимо определить собственные функции союзного уравнения. [c.561] Отметим еще один подход [98], когда смещения разыскиваются в виде суммы потенциалов двойного и простого слоев (с одной и той же подлежащей определению плотностью). В этом случае получается всегда разрешимое уравнение ). [c.562] Поскольку потенциалы У(д,ц 21), как ранее отмечалось, есть смещения тела как жесткого целого, то убеждаемся, что условия (2.11) совпадают с условиями (2.9). [c.562] Изложенные свойства интегральных уравнений дают исчерпывающий ответ на вопрос об их разрешимости (исключая случай задачи 1 ). При фактическом построении решения желательно иметь обоснование метода последовательных приближений ), для чего необходимо полное изучение спектральных свойств этих уравнений (в плоскости комплексного переменного Л). [c.562] Следовательно, отношение (1 — о)/(1 + о) есть вещественное число и, значит, ц) само вещественно. Таким образом, установлено, что интегральные уравнения (2.8) и (2.9) не имеют комплексных собственных значений. [c.563] Таким образом, правая часть в (2.16) есть положительная величина, а левая — отрицательная. Поэтому отношение (1—Яо)/(1+Хо) есть число отрицательное. Следовательно, А.о 1. С другой стороны, точка Х=1 соответствует задачам 1+ и П , решения которых единственны. Если же допустить, что эта точка есть полюс резольвенты, то пришли бы к неединственности краевой задачи. Другое дело точка Х = —1, соответствующая задачам 1 и И+. Если бы эта точка не была полюсом резольвенты, то интегральное уравнение задачи 11+ было бы разрешимо при произвольной правой части, а тогда и краевая задача была бы всегда разрешима, но это противоречит теореме существования. Следовательно, точка X = —1 обязательно является полюсом резольвенты. Поскольку же уравнение задачи И является союзным (а альтернативы Фредгольма выполняются), то и здесь интегральное уравнение будет разрешимо лишь при определенных краевых условиях, хотя для исходной краевой задачи они не являются необходимыми ). [c.564] Доказано [25], что полюс в точке Х = —1 является простым. Как было показано выше, этой точке соответствуют шесть собственных функций. [c.564] Изложенные результаты, как можно заметить, устанавливают практически полную аналогию между свойствами интегральных уравнений задач Дирихле и Неймана и основных задач теории упругости. [c.564] Дело в том, что, хотя точка к = —1 и является полюсом резольвенты, условие (2.9) приводит к его фактическому уничтожению. Правда, погрешность, возникающая при численной реализации, может привести к нарушению условий ортогональности, что и приведет к расходимости ряда. Подробно указанный вопрос изучается в 3. [c.565] Естественно, что метод последовательных приближений неприменим, когда решается задача I (поскольку интегральное уравнение не является разрешимым, то алгоритм должен оказаться расходящимся). [c.565] Реализация рекуррентных соотношений в задаче II приведет, как было сказано, к построению собственной функции v( 7), вернее, к определению постоянной С. Воспользуемся этим обстоятельством для получения сходящегося представления решения [172]. Рассмотрим теперь краевую задачу, когда точное решение щ в смещениях и напряжениях известно ). Реализуя рекуррентные соотношения (2.19), придем к соответствующему значению постоянной (обозначим ее через С]). Тогда краевая задача для смещения 2 = и — СН1/С1 приведет, как легко видеть, к сходящемуся процессу. [c.566] Вернуться к основной статье