ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод функционально-инвариантных решений из "Методы математической теории упругости " Аппарат теории функций комплексного переменного может быть применен к построению специального класса решений задач динамической теории упругости. Этот класс решений может быть получен с помощью так называемых функционально-инвариантных решений волнового уравнения. [c.430] В самом деле, определив производные от функции, заданной неявно, подставив полученные выражения в (9,2) и учитывая (9.4), убеждаемся, что выражение (9.3) дает интеграл системы (9.2). Таким образом, доказано, что волновое уравнение (9.1) имеет класс решений указанного вида. Отметим, что если /(Й) — комплексная функция, то решениями также будут и функции ц = Не/(Й) ии = 1т/(й). [c.431] Здесь штрих обозначает производную по Й. [c.431] Отметим также, что класс функционально-инвариантных решений волнового уравнения, как было показано, определяется структурой функции й (а, (/,/), удовлетворяющей системе (9,2) и имеющей вследствие этого вид (9.3) при условии (9.4). Сами функции /(Й) при этом могут быть, как указывалось выше, произвольными дважды дифференцируемыми (или аналитическими) функциями. Это свойство решений волнового уравнения и отражено в названии самого метода функционально-инвариантных решений. Название этого метода отражает некоторые общие групповые свойства решений волнового уравнения. [c.432] Если все числа /, т, п — действительные, то получаем решение волнового уравнения, называемое плоской волной. Коэффициенты /, т, п могут быть комплексными числами. При ш = 1, п = (, 1 = 0 получаем общий интеграл уравнения Лапласа, который, конечно, удовлетворяет и волновому уравнению. В случае. же, когда псе три коэффициента отличны от нуля и являются комплексными величинами, мы получаем существенно новое решение, которое называется плоской волной [52]. [c.432] Непосредственной подстановкой легко убедиться, что по отдельности ни волна, идущая к границе, ни волна, идущая от нее, не удовлетворяют краевым условиям. Поэтому естественна и физически обоснована попытка искать решение задачи для полупространства в виде суммы отдельных волн различного типа, что законно в силу линейности уравнений динамики упругого тела. Отметим при этом, что начальные условия учтены выбором направления распространения волны. [c.434] Факт сохранения или искажения формы волны (или вида теоретической осциллограммы) имеет большое значение в приложениях динамической теории упругости. [c.436] Если обратиться к рис. 38, то нетрудно заметить, что (9.25) определяет значение угла ai, при котором скорость распространения поперечных волн (по нормали к фронту волна переместится за время At на путь Ь At) вдоль границы равна скорости продольных волн (из рис. 38 следует, что за это же время продольная волна пройдет путь а Ai)- При углах падения ai ar sin( /fl) будет иметь место полное внутреннее отражение поперечных волн, продольные возмущения, возникающие в точках поверхности у = 0 при падении на эту поверхность поперечной волны, будут обгонять поперечную волну. Это свойство трактуется так синус угла отражения продольной волны, вычисленный по закону синусов sin аг = ва, оказывается больше единицы, и, следовательно, вещественного угла отражения для продольной волны в обычном смысле не существует . Таким образом, решение задачи об отражении, представленное формулами (9.22), (9.24), справедливо лишь при 0 а- , т. е. при углах падения волны, меньших угла внутреннего отражения sin ai . Ь/а (рис. 39). [c.437] Будем искать теперь такое решение, когда продольное и поперечное возмущения являются комплексными волнами и при этом на границе полупространства отсутствуют напряжения. Выбирая для потенциалов такие функции комплексного переменного, производная от которых обращается в нуль на бесконечности, получим решения, в которых смещения стремятся к нулю на бесконечности. По этой причине волны такого типа называются поверхностными волнами. [c.440] Волны такого типа называются волнами Релея, впервые указавшего на их существование. [c.442] Из формул (9.42) следует, что вся картина движения перемещается вдоль оси X со скоростью с, оставаясь в подвижной системе координат неизменной. Величина с называется релеев-ской скоростью. [c.442] Таким образом, вместо f(Q) нужно теперь писать [(в). [c.442] Соответствующие решения волнового уравнения будем называть однородными решениями з-го измерения. Таким образом, всякая дважды дифференцируемая (если комплексная, то аналитическая) функция /(0), когда 0 определяется из (9.43), есть решение нулевого измерения волнового уравнения (9.1). Наоборот, можно показать [52], что всякое однородное решение нулевого измерения волнового уравнения можно записать в виде и [(0), где 0 есть решение уравнения (9.43). [c.442] Указанные основные идеи приложения теории функций комплексного переменного к решению волнового уравнения (9.1) имеют обширные приложения в задачах распространения колебаний, связанных с решением одного волнового уравнения или системы волновых уравнений. [c.446] Вернуться к основной статье