ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Плоская задача теории упругости. Изгиб пластинок из "Методы математической теории упругости " В 3 гл. III было показано, что задача кручения стержней сводится к определению в области, занимаемой сечением, гармонической функции ц х,у), называемой функцией кручения и принимающей на контуре заданное значение нормальной производной, или же гармонической функции ф(х, у), принимающей на контуре заданное значение. [c.362] Если параметр т приближается к 1/я, то напряжение в этой точке (стремящейся к точке возврата) неограниченно возрастает. [c.364] Как уже отмечалось в 3 гл. III, решение задач изгиба стержней также сводится к решению гармонических задач, и поэтому привлечение к их рассмотрению аппарата комплексного переменного не содержит каких-либо новых элементов по сравнению с изложенными выше. [c.364] Перейдем к исследованию задачи кручения составного стержня. В связи с весьма большими сложностями, возникающими при решении этой задачи в общей постановке, ограничимся рассмотрением сравнительно простого случая (построение решения для которого все-такн весьма трудоемко). Пусть в стержень (материал которого характеризуется коэффициентом Ламе р), снаружи ограниченный круговым цилиндром а изнутри эллиптической полостью, контур которой 1, вставлен стержень из другого материала ) (с коэффициентом Ламе pi) таким образом, что он полностью заполняет полость. Согласно принятой системе обозначений приходим к задаче для области Dt, расположенной внутри круга радиуса R, при наличии на эллиптическом контуре Ц разрыва для касательной компоненты напряжений. [c.364] Формула (1.16) выражает собой условие равенства нормальной компоненты касательного напряжения при подходе к контуру слева и справа, а условие (1.17)—равенство смещений. [c.365] Здесь учтено, что интеграл от функции Fl i) равен нулю, поскольку она аналитична в Dt. [c.366] Здесь (0) = 2 и (у) = V (т = 1, 2,. ..). Звездочка при сумме указывает, что индекс п принимает значение одинаковой четности с V. [c.367] В результате приходим (в плоскости к интегралам типа Коши, которые элементарно вычисляются. Аналогичным образом вычисляется правая часть в (1.24), разумеется, при переходе в выражении для /(/) к переменной о. [c.368] Выражение (2.5) называется формулой Гурса. [c.370] Постоянная и = 3 —4v в случае плоской деформации, а в случае плоского напряженного состояния к=(3 — v)/(l + ). [c.370] Соотношения (2.8), (2.8 ), (2.8 ) называются формулами Колосова— Мусхелишвили [38, 121]. В дальнейшем будут использоваться как пара функций ср(г), ф(г), так и пара Ф(г), Ч (2). Таким образом, для определения касательного напряжения нужно найти мнимую часть второго соотношения (2.8), а для нормальных напряжений решить соответствующую систему второго порядка. [c.371] Перейдем к вопросу о степени определенности введенных выше функций. Дело в том, что в области, занимаемой упругим телом, величины, имеющие физический смысл, а именно смещения и напряжения, должны быть однозначными. [c.372] Очевидно, что смещения Дм и До соответствуют смещению тела как жесткого целого. Если потребовать, чтобы смещения были однозначны, то необходимо положить постоянную С = 0, а постоянные у и у связать соотношением ху = у. [c.372] Функции же ф и ф на бесконечности будут стремиться к постоянным значениям (величина которых не отражается, естественно, на значениях возникающих напряжений внутри области). [c.375] Функция f t) должна быть известна. [c.375] ВОЛЬНОЙ) И ИХ следует определять в ходе решения задачи из условия однозначности получаемых смещений. [c.376] Для случая многосвязной области или внешности одного контура f t) может оказаться неоднозначной в силу того, что (р(г) и г з(г) могут содержать неоднозначные функции (см. (2.20)). Поэтому необходимо перейти к однозначным функциям ф (г) и ф (2), а тогда н краевые условия автоматически окажутся однозначными. [c.376] Разумеется, когда области содержат бесконечные точки, необходимо в формулировку задач включать и условия поведения решения на бесконечности, даваемые формулами (2.21). [c.376] Очевидно, что комбинация условий (2.23) и (2.22) позволяет дать описание смешанной задачи. [c.376] Остановимся на одном важном вопросе. Вообще говоря, для постановки краевых задач требовалась лишь непрерывная продолжимость на границу выражений, стоящих в левых частях (2.22) и (2.23), но далее будем требовать выполнения более сильного условия — непрерывной продолнсимости на границу каждого из слагаемых ф(г), ф (г) и (г). Решение, удовлетворяющее этим требованиям, будем называть регулярным. Введенное дополнительное условие существенно облегчает обоснование методов, которые традиционно применяются для решения краевых задач методом комплексного переменного. [c.376] Вернуться к основной статье