ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Системы линейных алгебраических уравнений из "Методы математической теории упругости " Зафиксируем точку, в которой будем определять величину погрешности. Тогда jh == уо = onst, а, следовательно. [c.183] Таким образом, при Л- 0 погрешность стремится к нулю. [c.183] Заметим, что иногда уравнения гиперболического типа решают численно, исходя из их представлений в характеристических переменных. [c.183] Естественно, что такая форма записи не является единственной, однако принятая и приводимая ниже классификация бесконечных систем инвариантна по отношению к такого рода произволу. [c.183] Таким образом, установлено, что последовательность монотонно возрастающая и ограничена, следовательно, она имеет предел, который обозначим A J. [c.185] Решение, получаемое последовательными приближениями, исходя из нулевого приближения, называется главным решением. [c.186] Эта система мажорантна к исходной и она имеет очевидное решение XI = К.. Тогда сразу получаем утверждение система (15.2) (если она регулярна и выполняется условие (15.10)) имеет ограниченное постоянной решение, которое может быть определено из нулевого приближения. [c.186] Заметим, что для вполне регулярных систем полученный результат следует автоматически при условии, что правые части ограничены. Очевидно, всегда можно подобрать соответствующее постоянное число/С так, чтобы выполнялось неравенство (15.10). [c.186] При этом требуется установить, будет ли решение таких укороченных систем в пределе стремиться к решению бесконечной системы. Фактически при этом получается совокупность бесконечных систем, в которых каждый коэффициент или обращается в нуль, или имеет фиксированное значение. В итоге представляется возможным использовать предыдущие результаты для случая регулярных систем. При этом достаточно говорить уже не о главном решении, поскольку конечная система ) будет иметь единственное решение. [c.187] Подставим эти решения в первую группу уравнений (15.13), умножив каждое из них на соответствующее искомое неизвестное Xk k N). В результате придем к конечной системе, решив которую, определим эти неизвестные, а в дальнейшем и остальные неизвестные. [c.188] Разумеется, все вышеизложенное относится и к системам конечного порядка, при этом снимается различие между системами регулярными и вполне регулярными. [c.188] Таким образом, произведение А А Ч1 дает оценку относительной погрешности решения. Чем больше это произведение, тем менее вероятно, что решение системы (15.14) (даже осуществленное точно) приведет к удовлетворительному результату. Произведение Л Л-Ч1 называется числом обусловленности системы k(A). [c.188] Здесь произведение А( ( А-Ч1= к А) также является определяющей величиной, с ростом которой погрешность увеличивается. [c.189] Таким образом, в случае плохо обусловленных систем (когда число обусловленности велико) фактическое построение решения затруднительно, поскольку из-за малого разброса в исходных данных может получиться значительный разброс в решении. Соответствующие стабилизирующие приемы будут изложены в 16. [c.190] Вернуться к основной статье