ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Элементы функционального анализа из "Методы математической теории упругости " Аналогичным образо.м функции Ламе используются для построения решений, когда рассматриваемые тела представляют собой гиперболоиды и параболоиды. [c.123] Эту задачу можно рассматривать как задачу Дирихле для пространства с вырождающейся в эллипс (при р = с) эллипсоидальной полостью при симметричных относительно плоскости 2 = 0 краевых условиях (10.25). [c.123] Удачный выбор системы координат в процессе математического решения той или иной проблемы имеет зачастую решающее значение. [c.123] Заметим, что если коэффициенты (10.17) и (10.23) подставить соответственно в ряды (10.16) и (10.22), то после перестановки операций суммирования и интегрирования приходим к явным выражениям для решений в интегральной форме. В отдельных случаях полученные ядра удается просуммировать. [c.123] Элемент ф = О есть такой, прибавление которого оставляет любой элемент самим собой, а умножение делает нулевым. Число V(ф, ф) называется нормой элемента ф и обозначается фЦ. Перечислим свойства нормы. [c.124] Это произведение существует, поскольку выполняется неравенство (11.6), а условия (11.1) — (11.3) автоматически удовлетворяются. Условие (11.4) также будет выполняться, если считать (а в дальнейшем так и будем предполагать) равными две функции, совпадающие между собой почти везде. [c.124] Рассмотрим обратную задачу. Допустим, что для последовательности фл выполняется условие (11.11). Существует ли тогда предел последовательности фл Приведем пример, показывающий, что предел может и не существовать (разумеется, в исходном пространстве). [c.125] В пространстве же Li из (11.11) следовало бы, что эта последовательность сходится, поскольку получаемая разрывная функция принадлежит этому пространству. Заметим, что этот результат относится не только к приведенной системе функций в пространстве Li любая сходящаяся последовательность (в смысле условия (11.11)) имеет предел (теорема Рисса — Фишера (см. [32])). Такого рода пространства принято называть полными. [c.125] говоря о гильбертовых пространствах, будем полагать их полными. [c.126] Множество М будет называться плотным в гильбертовом пространстве Я, если любой элемент ф е Я может быть получен как предел последовательности ср е М. Если при этом множество М является счетным, то пространство называется сепарабельным. [c.126] Множество М гильбертова пространства называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные элементы, т. е. из соотношений ф е М и фп ф следует, что ф е М. [c.126] наконец, множество М называется компактным, если из любой его бесконечной части можно выделить сходящуюся последовательность. [c.126] Введем понятие оператора. Пусть в некотором пространстве имеется множество Оа и каждому элементу множества Оа поставлен в соответствие элемент ф некоторого множества / а однозначным образом. Тогда говорят, что задан оператор А, а само соответствие символически записывают в виде ф = Аф. Множество Оа при этом называется областью определения оператора А, а Rл — областью значений оператора. [c.127] Очевидно, что формулировка оператора включает в себя его область определения. Пусть есть два оператора А и В и область Оа содержится в области Ов и выполняется равенство Аф = = Вф. В этом случае говорят, что оператор В есть расширение оператора А. [c.127] Линейный ограниченный оператор непрерывен. Заметим, что линейный ограниченный оператор, заданный на плотно.м множестве, можно расширить на все пространство с сохранением нормы. [c.128] Оператор называется вполне непрерывным, если он преобразует любое ограниченное множество в компактное. [c.128] Следовательно, оператор (11.24) является ограниченным на множестве непрерывных функций. Согласно сказанному несколько ранее этот оператор можно распространить на все пространство 2 с сохранением нормы. [c.129] Примером элементарного оператора является тождественный оператор, который ставит в соответствие элементы самим себе (такой оператор обычно обозначают через Е). [c.129] Рассмотрим теперь в изложенной постановке задачу Дирихле для неоднрродного уравнения Лапласа при однородном краевом условии. Пусть 5 — граница области (2 (размерность которой т), в которой ищется решение. [c.130] В силу однородности краевого условия (и = О, д S) интеграл по поверхности исчезает. Поэтому из равенства (—Аи,и) = 0 следует, что и = onst. Опять же в силу краевых условий получаем W = 0. [c.131] Вернуться к основной статье