ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод разделения переменных из "Методы математической теории упругости " Структура этого решения свидетельствует о том, что малые изменения в краевых условиях влекут за собой малые изменения самого решения. [c.117] Проведем качественное исследование формулы (9.19). Пусть 7 = о и начальное возмущение сосредоточено в произвольной области (U. Будем рассматривать решение в некоторой точке хо, Уо, 2о, расположенной вне со, на расстоянии 6i от нее. [c.117] При io 6i/(u сфера г = ato будет полностью располагаться вне (U, и поэтому согласно (9.19) получаем тождественный нуль. Затем сфера начнет пересекать область ш и при t бг/д (где 62—максимальное расстояние до точек области) формула (9.19) опять будет давать тождественный нуль. [c.117] Таким образом, для каждого момента времени можно построить две поверхности. Первая (передний фронт волны) отделяет область покоя от области, в которую распространились возмущения. Вторая поверхность (задний фронт волны) отделяет возмущенную область от области, в которой восстановился покой. [c.117] Естественно, что одно и то же уравнение в одной системе координат допускает разделение переменных, а в другой может не допускать. При положительном ответе на этот вопрос рассмотрение краевых задач методом разделения переменных целесообразно только тогда, когда в соответствующей координатной системе рассматриваемая область представляет собой параллелепипед соответствующей размерности. Уравнение Лапласа в пространственном случае допускает разделение переменных в некоторых системах координат (декартовых, эллипсоидальных, тороидальных, а в плоском случае в полярных и биполярных). [c.118] Поверхности р = ро представляют собой софокусные эллипсоиды, поверхности р = ро — софокусные однополостные гиперболоиды, а поверхности V = vo — софокусные двуполостные гиперболоиды. При Ро = с соответствующий эллипсоид вырождается в эллипс с полуосями ус — а и л/с — Ь . Поверхности цо == с дополняют указанный эллипс до полной плоскости. [c.121] Вернуться к основной статье