ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегральные преобразования и представления из "Методы математической теории упругости " Символ регулярного оператора, содержащего сингулярный интеграл вида (3.34) на поверхности S, будем отождествлять с символом оператора на плоскости, имеющим характеристику f(qo,Q). [c.63] Таким образом, фактическое вычисление сингулярного интеграла на поверхности требует введения определенной дискретизации поверхности (определяемой каждый раз в зависимости от положения точки до) так, чтобы элементарные области описывали поверхности ere- Следовательно, при необходимости вычисления интегралов в совокупности точек до надо вводить соответствующее количество различных дискретизаций. В дальнейшем (в 3 гл. VII) приводятся приемы вычисления сингулярных интегралов, присутствующих в интегральных уравнениях пространственной задачи теории упругости, основывающиеся на специальных свойствах их ядер. [c.63] Рассмотрим сначала преобразование Фурье. Пусть некоторая функция fix), заданная на действительной оси, удовлетворяет условиям Дирихле. Кроме того, потребуем, чтобы функция f x) была абсолютно интегрируемой. [c.64] Четвертый случай сразу определяется по лемме, поскольку функция / (д) (sin гд)/х удовлетворяет условиям Дирихле. [c.65] Обращаясь же теперь к (4.14), получаем формулу (4.1). [c.68] Проделанная операция называется обратным преобразованием Фурье или восстановлением оригинала по трансформанте, причем формула (4.16) оказывается справедливой и при комплексном значении параметра а. [c.68] Эффективность преобразования Фурье в этих случаях связана с тем, что структура ядра и пределы интегрирования таковы, что позволяют применить теорему о свертке. [c.70] Опять получаем аналогичную связь, как и между трансформантой Фурье и оригиналом. [c.72] Заметим, что преобразование Ханкеля может быть получено из двумерного преобразования Фурье (4.17) в случае осевой симметрии. [c.72] Гладкость ядра интегрального уравнения в той или иной степени может нивелировать особенности функции f x). Функция же F p) ввиду ее аналитичности является функцией весьма плавной, и поэтому резкое изменение функции f x) на малом участке в гораздо меньшей степени отразится на трансформанте, что, естественно, должно приводить к неустойчивости (некорректности) при численной реализации. [c.74] Вычисление интегралов, необходимых для построения трансформант и оригиналов, можно проводить обычным численным интегрированием, исходя из тех или иных квадратурных формул. Неограниченность контура интегрирования не является серьезным затруднением, поскольку из существования интегралов следует, что можно брать достаточно большой, но конечный участок. Однако такой подход может быть весьма трудно реализуемым, в частности, из-за того, что ядра ряда интегральных преобразований (например, преобразований Лапласа и Фурье) являются осциллирующими функциями. Поэтому разработаны специальные квадратурные формулы, учитывающие структуру ядер [132]. [c.74] Ряд приемов вычисления интегралов связан с аналитичностью трансформант в той или иной области, что дает возможность использовать аппарат теории вычетов и лемму Жордана. [c.75] Лемма Жордана дает возможность при вычислении интеграла вдоль прямой в комплексной области использовать теорию вычетов. Для этого рассматривается совокупность конечных отрезков, переходящих в пределе в заданную прямую. Концы каждого из отрезков соединяются какой-либо другой, а заданная на прямой функция аналитически продолжается на эти дуги, и далее рассматриваются интегралы по образованным таким образом замкнутым контурам. В лемме Жордана специально оговаривается случай, когда с увеличением длины дополнительной дуги интеграл по этой дуге стремится к нулю. Наиболее просто требуемые оценки получаются, когда такой дугой выбирается дуга окружности. [c.75] Таким образом, доказано, что интеграл по дуге стремится к нулю. [c.76] Замена переменной р = 1г дает возможность перейти к рассмотрению интеграла g p)e P dp, взятого по прямой Re р = а. [c.76] В зависимости от знака параметра X в качестве дополнительного контура следует выбирать либо дугу С (Я, 0), либо дугу С я а 0) (рис. 4). [c.76] При построении такого рода уравнений довольно часто используют в интеграле ядра, которые совпадают с.ядрами обратных интегральных преобразований, поскольку наличие формул обращения позволяет подчас сводить получаемые интегральные уравнения к алгебраическим. [c.78] Как отмечалось в 1 (п. 4), интегральные преобразования позволяют свести определенный класс интегральных уравнений (так называемые уравнения Винера — Хопфа) к задаче факторизации (см. [49]). [c.79] Из этих условий следует, что трансформанта Фурье V(z) для функции и( ) будет аналитической функцией в полосе y- lmz у+. [c.80] Вернуться к основной статье