ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Элементы теории аналитических функций из "Методы математической теории упругости " Преобразуем (1.1), воспользовавшись формулами Эйлера os fe0 = у (e + е ), sin б = (б — е ). [c.11] Если функция f(0) непрерывна на всем отрезке и /(0) = = f(2я,), то ряд (1.2) сходится равномерно к функции /(0). [c.11] Представление (1.2) позволяет строить ряды и от комплекс-нояначных функций. Различие по сравнению с рядами для действительных функций будет состоять только в нарушении условия йп = й-п, следующего из (1.2). [c.12] Интеграл типа Коши записывается также в виде (1.5), ио теперь откажемся от предположения, что функция /(т) есть краевое значение аналитической функции. Покажем, что интеграл типа Коши порождает некоторые аналитические в областях 0+ и О- функции, которые будем обозначать через Ф+(2) и ф-(2). Эти две функции можно также рассматривать как одну кусочно-аналитическую функцию, которую естественно обозначить через Ф(2). [c.13] В случае, если точка / будет угловой точкой контура, в (1.14) изменится множитель при /( ). Весьма важной является теорема Племеля — Привалова, в которой показывается, что предельные функции Ф-(0 (а равным образом и главное значение Ф(/)) будут также принадлежать классу Г. — Л. с тем же показателем, что и плотность (если Яс I), или с показателем 1 — е, е О (если Я = 1). [c.15] Действительно, в этом случае функция Х1 не зависит от первого аргумента и плотность интеграла 1(1) обращается в нуль. [c.17] Функция Фо(2) ведет себя в окрестности точки с аналогично функциям Ф1(г) и Фа (г). [c.18] Было показано [39], что второй интеграл имеет в окрестности точки а особенность порядка, меньшего аа (а — X ао С а, X — показатель класса Г. — Л. функции ( (т)). [c.19] Потребовав же дополнительно, чтобы функция G(t) являлась краевым извне или изнутри значением аналитической функции. [c.19] Будем требовать, чтобы функция С(1)ф0 и была непрерывной функцией, а ограничения на свободный член будут указываться по мере необходимости. [c.20] Обратимся к однородной задаче и допустим, что она разрешима. Обозначим через N+ количество нулей с учетом кратности функции Ф+(г) (естественно, в D+) и через N —количество нулей функции ф-(г) (в D ). [c.20] Аналитичность функции Ф+(г) очевидна, так же как и то, что функция Ф (2) в бесконечности равна С и, следовательно, не является аналитической. Поэтому будем рассматривать (1.32) как некое обобщенное решение задачи Римана. [c.21] Установленные результаты могут иметь несколько неожиданное следствие. Пусть на контуре задана функция ср(0 имеющая индекс нуль. Тогда эту функцию всегда можно представить в виде отношения двух функций, являющихся краевыми значениями функций, аналитических соответственно в 0+ и 0 (исключая бесконечно удаленную точку), для чего необходимо считать ее коэффициентом вспомогательной однородной задачи Римана. [c.21] Таким образом, при я О решение всегда существует и содержит я— 1 комплексных постоянных. [c.22] При X о каноническая функция также удовлетворяет условию (1.28), но на бесконечности будет иметь полюс порядка —х. [c.22] Из формул (1.41) и (1.42) следует, что решение справедливо и когда функция g(t) представима в виде (1.24). [c.23] Перейдем теперь к задаче Римана для разомкнутых контуров и разрывных коэффициентов. Первый случай непосредственно сводится ко второму, если провести дополнительный разрез, соединяющий концы дуг. Пусть на этом разрезе G(0=1 и g(/) = 0, то. да приходим к задаче для замкнутого контура, допуская для коэффициента и свободного члена разрывы первого рода. [c.23] Следовательно, при а О функция имеет нуль порядка а, а при а 0 — полюс порядка —а. При а = О эта функция остается ограниченной, но не стремится к определенному пределу. [c.24] Учитывая (1.45), можно показать, что коэффициент G t) является всюду непрерывной функцией. Таким образом, задача Римана с разрывным коэфс )ициентом оказалась сведенной к задаче с непрерывным коэффициентом. Следовательно, функции Ф (г) непрерывны в окрестности точки 6, и поэтому по формулам (1.49) сразу представляется возможным установить характер особенности функций Ф (г), определяемый, как было показано выше, значением а, т. е. фактически выбором ветви логарифма в (1.48). Таким образом, в решении задачи с разрывным коэффициентом возникает дополнительный произвол, помимо произвола, связанного с решением (1.41). Поэтому при формулировке задачи следует оговаривать допустимый порядок особенности решения в точке разрыва коэффициента. В задачах, имеющих физический смысл, допускается или ограниченность решения, или особенность так называемого интегрируемого порядка а (—1 а 0). [c.24] Вернуться к основной статье