ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Собственные колебания в системах конечной длины из "Основы теории колебаний " При исследовании колебательных процессов в распределенных системах конечной длины обычно используется метод Бернулли, т. е. решение разлагается по собственным функциям краевой задачи. Вид собственных функций существенно зависит от граничных условий, связывающих ток и напряжение пли силу и смещение на границах системы. [c.328] Остановимся лишь на простейших случаях граничных условий, которые, однако, часто встречаются на практике. [c.328] Это граничное условие характерно для стержня со свободными концами. Оно следует из требования, чтобы сила, возникающая на конце стержня вследствие его деформации, была равна нулю. Для Электричесу ой системы этим условиям удовлетворяет напряжение на разомкнутых концах линии и ток в короткозамкнутой линии. [c.328] Условия (10.2.4) и (10.2.5) различаются знаком. Это связано с тем, что ток в линии заряжает емкость на правом конце и разряжает ее, если она включена на левом конце, т. е. для левого конца дд/д( = — /. [c.329] Постоянные А, и Bs определяются из начальных условий. Из решения (10.2.8) следует, что распределенные колебательные системы конечной длины имеют бесконечное множество собственных частот u) , каждой из которых соответствует определенная форма колебаний ф . Формами собственных колебаний одномерных однородных систем являются гармонические функции. [c.329] В качестве примера неоднородной системы рассмотрим струну с сосредоточенной неоднородностью. Пусть струна закреплена в точках л = 0, х = 1 и нагружена в точке х = Ь резонатором, состоящим из массы М и пружины с упругостью к (рис. 10.4). Эквивалентной электрической системой такого типа является, например, измерительная линия с зондом, имеющим резонатор. [c.330] Из трансцендентного уравнения (10.2.14) найдем к. [c.330] Учитывая, что к = 2я/ ., получим 1 = пХ. Таким образом, решения вида (10.2.16) дают собственные колебания, при которых на струне укладывается целое число длин волн. Это четные обертоны струны. Для таких колебаний точка Ь = 1/2 является узлом и поэтому резонатор не влияет на собственные частоты. [c.331] Рассмотрим ряд частных случаев. [c.331] Р = — ( Т/к1) (к1/2) и кривые F = tg(/ /2). Точки их пересечения дают значения к, удовлетворяющие уравнению (10.2.18). При малых к это уравнение определяет собственные частоты нечетных обертонов ненагруженной струны к//2 = (2дг + 1) я/2, т. е. [c.331] Точками I, 2, 3, 4 обозначены величины /гк1, соответствующие первым четырем собственным значениям частоты. Стрелками показаны изменения собственных частот, обусловленные влиянием массы. [c.332] По мере увеличения к смещение точки струны, в которой подключена пружина, уменьшается. В пределе при очень большой жесткости пружины точка х = 1/2 остается при колебаниях неподвижной. 13 этом случае частота первого тона близка к частоте второго. Подбором нагрузки частоты соседних тонов можно сблизить настолько, что система будет вести себя как полосовой фильтр с частотной характеристикой, изображенной на рис. 10.7. [c.333] Для его графического решения построим кривые f=tg(/ //2) и / = (р//А1) (2/к /) (гипербола) (рис. 10.8). По мере увеличения М гипербола идет круче и собственные частоты понижаются тем сильнее, чем выше номер обертона. При М причем основной тон можно сделать сколь угодно низким. На рис. 10.9 изображены три первые собственные формы колебаний для струны, нагруженной массой М Пунктиром показан основной тон эквивалентной струны, имеющей ту же частоту колебаний, что и рассматриваемая струна, нагруженная массой М. [c.333] Представляет упругую нагрузку и собственные частоты нечетных тонов нагруженной струны повышаются. При га с0рез нагрузка действует как масса и й 2 +1 понижаются. [c.333] Таким образом, включение резонатора приводит к подтягиванию собственных частот 2я+1 к частоте резонатора. Если частота какого-либо тона совпадает с собственной частотой резонатора, то в установившемся режиме взаимодействия между струной и резонатором на этой частоте нет. [c.333] Частотное уравнение (10.2.14) при любом 0 СЬ / исследовать сложно. Однако можно показать, что в этом случае будут изменяться как нечетные, так и четные тона. Изменить число узлов конечная нагрузка не может. Поэтому при любой нагрузке частота -го тона всегда выше частоты (п— 1)-го тона и ниже частоты (л+1)-го, т. е. (о .1 со со +1. В качестве примера на рис. 10.11 приведены формы колебаний для Ь = //3 и Л4=0. [c.333] Характерным примером распределенной системы, взаимодействующей с резонатором, является лазер. Резонатор лазера, образованный системой зеркал (резонатор Фабри — Перо), обладает эквидистантным спектром собственных частот со . Когда в резонатор лазера помещается активное вещество, обладающее резонансной частотой соо, собственные частоты резонатора (о подтягиваются к (Од, Спектр становится неэквидистантным. Это обстоятельство приводит к тому, что частоты генерируемых лазером мод становятся независимыми. Если с помощью специальных мер добиться, чтобы спектр стал близок к эквидистантному, то начинается самосинхронизация мод лазера (см. гл. 11). [c.334] Вернуться к основной статье