ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Планирование экспериментов из "Измерения при теплотехнических исследованиях " Математические модели строятся на основе учета лишь главных свойств объектов исследования. Для реализации сложных теплотехнических устройств всегда необходимо изучить (и оптимизировать) влияние большого количества факторов, не поддающихся аналитическому описанию. Проведение таких исследований возможно лишь опытным путем. [c.31] Задачи первого типа (интерполяция) требуют использования нелинейных моделей зависимости (П.2). В тех случаях, когда это возможно, такие модели строятся на основе изучения физических связей между переменными тогда же, когда физические зависимости аналитически установить трудно или невозможно, прибегают к аппроксимации зависимости (П.2) нелинейными выражениями. [c.31] К сожалению, по ряду причин не всегда можно на практике обеспечить обоснованный таким образом выбор шага изменения аргумента при проведении опытов. [c.32] Задачи второго типа (оптимизация) успешно решаются без использования выражений, непосредственно вытекающих из физических представлений о процессах в объекте. Современные статистические методы планирования оптимальных экспериментов почти целиком основаны на применении полиномиальных уравнений (линейных или невысокого порядка), аппроксимирующих неизвестную зависимость (П.2). [c.32] Задача оптимизации объекта исследований по результатам экспериментов может формулироваться следующим образом. Известно, что выбранная оценка функции качества Пц зависит от многих переменных, причем относительно некоторых из них нет априорных соображений о значимости воздействий на ПРяд переменных во время эксперимента не контролируется уровни остальных переменных и Пц измеряются непосредственно или рассчитываются по результатам измерений. Требуется определить значения независимых переменных, обеспечивающие максимум (или минимум) Пц в области, ограниченной по заданию или реализуемой в условиях проведения экспериментов. [c.32] Планирование экспериментов — это определение минимально необходимого числа опытов, условий и последовательности их проведения по некоторой заранее составленной схеме. Выбор плана проведения экспериментов, с одной стороны, зависит от свойств объекта исследования и особенностей протекающих в нем процессов, а с другой стороны, подчиняется требованиям методов анализа результатов измерений. [c.34] Важной особенностью процессов в объекте является возможность повторного воспроизведения всех условий некоторого данного эксперимента. По существу, все технические эксперименты невоспроизводимы в том смысле, что ни один объект или прибор после определенных действий не возвращается к в точности идентичному состоянию. Примером тому могут служить испытания по оценке надежности при максимальных нагрузках, когда происходит прогрессивное ухудшение свойств объекта, или такие испытания, при которых происходит интенсивная коррозия или изменяется структура материала деталей объекта. Для невоспроизводимых экспериментов последовательность проведения опытов однозначна возможны лишь ограниченное варьирование условиями работы объекта и выбор числа опытов независимая переменная др изменяется скачкообразно от одного ее предельного значения до другого. [c.34] Планы подобных экспериментов получили название последовательных. При этом всегда существует вероятность получения значительных неучтенных систематических погрешностей, наличие которых затрудняет или даже делает невозможным корректный математический анализ результатов. Однако применение последовательных планов не всегда связано с невозможностью применения иных способов проведения экспериментов. В работе [146] приведены некоторые примеры постановки экспериментов, когда только последовательное изменение условий осуществления процессов в объекте позволяет выявить важные особенности изучаемых процессов. Обычно к таким явлениям относятся переходы от одного режима трения к другому, выявление гистерезисных эффектов и т. п. Наконец, использование последовательного плана может определяться стоимостью, сложностью или продолжительностью осуществления запуска объекта испытаний. [c.34] Использование статистических планов проведения экспериментов позволяет устранять влияние неконтролируемых переменных, упрощает обработку результатов при одновременном сокращении объема вычислительных работ, приводит к повышению точности или к сокращению объема экспериментов, при оптимизации объектов позволяет разработать четкую стратегию поиска экстремума функции качества П ц. [c.35] Таким образом, варьирование переменных в четырех опытах на двух кодовых уровнях +1 и —1 позволило получить оценки коэффициентов независимо друг от друга по весьма простым формулам. Коэффициенты здесь определены с дисперсией Ь[Ьу = = = а 1р /4. [c.38] Для планирования сложных экспериментов очень важно четко определить критерий оптимальности плана. В специальных работах по планированию экспериментов предложено большое количество различных критериев оптимальности. В настоящее время наиболее развита теория построения О-оптимальных и С-оптимальных планов [93]. [c.39] При обработке измерений методом наименьших квадратов в случае, когда регрессионная функция линейна относительно неизвестных параметров, как уже говорилось, эффективные оценки этих параметров находятся совместно. Б-оптимальный план минимизирует объем эллипсоида рассеяния оценок параметров в заданной области пространства параметров. План называется С-оптималь-ным, если он обеспечивает наименьшую по всем планам максимальную величину дисперсии функции качества в области планирования. [c.39] В рассматриваемом случае известно, что оптимум принципиально не может достигаться при а 1, следовательно, следует выбрать в интервале 0,75—1,0, например в его середине. Тогда следующий факторный эксперимент можно планировать вокруг точки с координатами Хх = 1/2, Ха = 4/9, что получается при пересчете по формулам кодирования переменных (11.5). Теперь эксперимент ставится в точках а, Ь, с, й (рис. 7), и после анализахнова выбирается направление крутого восхождения. Эта процедура продолжается до тех пор, пока не достигается оптимум. [c.40] При большем числе факторов модель поверхности отклика становится более сложной, однако, найдено несколько полезных планов для оценки коэффициентов этих поверхностей [89], [93]. [c.41] Метод линейного приближения не позволяет описать поверхность отклика в широком интервале варьирования независимых переменных, поэтому оптимизация объектов производится путем шагового описания поверхности отклика. Вначале ставится небольшая серия опытов для описания исходного участка поверхности отклика полиномом первой степени, далее движением в направлении градиента опыты переносятся в новую область поверхности, и такой шаговый процесс продолжается до тех пор, пока не определится почти стационарная область , где линейное приближение оказывается недостаточным здесь ставится большая серия опытов и поверхность отклика описывается полиномом второго, а иногда и третьего порядка. Таким путем достигается высокая концентрация опытов в той части поверхности отклика, которая содержит искомый оптимум. [c.41] В настоящее время имеется достаточно технической литературы, посвященной методам планирования экспериментов (см. библиографию в книгах [89] и [133]), что позволяет подбирать подходящие планы при решении новых технических задач. [c.41] Вернуться к основной статье