ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Простейшая модель металла из "Введение в физику твердого тела " что происходит в кристалле, атомы которого нельзя рассматривать образующими замкнутые, трудно возбуждаемые электронные оболочки, как рассчитать энергию такого кристалла и какова ее величина Будем исходить из того, что внешняя электронная оболочка каждого атома заполнена лишь частично, поэтому при сближении атомов электроны получают возможность достаточно свободно мигрировать в пространстве и образуют электронный газ. В первом приближении такие электроны следует считать свободными, не чувствующ,ими влияния кулоновского поля ионов. [c.39] В такой модели кристалл представляет собой совокупность точечных периодически расположенных ионов, плавающих в однородном электронном (отрицательно заряженном) газе. [c.39] Данная модель аналогична модели Эвальда. Для нахождения энергии кристалла решают уравнение Пуассона (2.25), представляя предварительно плотность р в виде трехмерного ряда Фурье. Для повышения сходимости этого ряда в местах расположения точечных ионов добавляют гауссовы шапки отрицательных и положительных зарядов, имеющих вид (2.30).. [c.39] После этого находят сначала потенциал суммы совокупности положительных точечных зарядов и отрицательных гауссовых шапок (2.36), а затем, используя переход к фурье-компонентам, потенциал суммы отрицательного однородногоо фона и положительных гауссовых шапок (2.33). [c.39] ГПУ) и полупроводников (алмаза) имеют величины —1,7 --1,8. [c.40] Отрицательность этой величины указывает на то, что за счет электростатической энергии кристаллы металлов и полупроводников должны быть устойчивее и системы из разделенных ионов, составляющих кристалл, и совокупности изолированных молекул, поскольку энергия связи молекул соответствует а = — 1. [c.40] Нам осталось выяснить, будет ли рассчитанная величина энергии связи превалировать над энергией ионизации. Приведем оценки для нескольких типичных металлов Mg, Be, Na, К. [c.40] Соответственно для двухвалентного гексагонального Be с Го = = 1,841 А С/ез = —41,Й эВ/ат. Если вычесть из этих величин энергию ионизации двух электронов, равную для Mg 22,67 эВ/ат, а для Be 27,53 эВ/ат, то для энергии связи получим соответственно — 6,44 и —14 эВ/ат. Знак этих величин показывает, что электростатическая энергия превалирует над энергией ионизации, и кристаллы, как Mg, так и Be должны быть устойчивее не только системы разделенных ионов и молекул, но и системы разделенных нейтральных атомов. [c.40] Аналогично для Na и К получим соответственно для электростатической энергии — 6,195 и —5,014 эВ/ат, для энергии связи (Ues—Ui) —1,05 и —0,67 эВ/ат. При этом мы полагали 2=1, roNa = 2,08 А, Гок = 2,57 А, кристаллическая решетка в обоих случаях ОЦК. [c.40] Сравним полученные расчетом данные с экспериментальными [4]. Для Mg, Be, Na и К эксперимент соответственно дает —1,53 —3,33 —1,13 —0,94 эВ/ат. Если для Mg и Be рассчитанные и измеренные значения различаются более чем в 4 раза, то для Na и К это различие совсем незначительно. Полученные результаты означают, что количественное сходство с экспериментом по энергии связи наблюдается по крайней мере у некоторых групп металлов (например, щелочных). Однако, сравнивая с данными предыдущей главы, легко убедиться в том, что даже это сходство не очень надежно, поскольку в наших расчетах не был учтен какой-либо потенциал отталкивания, без которого с кристаллом должен произойти коллапс. [c.40] Электропроводность — одно из важнейших свойств твердых тел, имеющее не только теоретическое, но и большое практическое значение. Поэтому неудивительно, что возможность объяснения с единых позиций электропроводности материалов различных типов всегда была одним из наиболее значащих факторов при апробации выдвигаемых моделей твердых тел. Здесь мы рассмотрим интерпретацию электропроводности на основе приближения свободных электронов без учета принципа Паули. [c.41] Основная характеристика электропроводности — удельное электрическое сопротивление р, выраженное в Ом см, или его обратная величина — удельная электропроводность о = р . Для металлов удельное электросопротивление колеблется при 77 К в пределах от 0,2—0,5 мкОм см (Аи, Ag, Си) до 4—6 мкОм см (РЬ, Hg, s) и даже до 35 мкОм см (Bi) и резко растет с повышением температуры. Например, при 373 К для Ag р = = 2,13 мкОм см, для РЬ = 27 мкОм см. Многие твердые тела, состоявшие как из одинаковых атомов (алмаз. Si, Ge), так и из разных (Na l, LiF и т. д.), проводят электричество значительно хуже. Для материалов типа Si (полупроводников) при комнатной температуре р—Ю- —Ом см, для типичных диэлектриков при той же температуре р 10 —10 2 Ом - см. Если электросопротивление металлов с повышением температуры растет, то для полупроводников (а в принципе и для диэлектриков) оно падает. [c.41] Первая попытка объяснить высокую электропроводность металлов была предпринята Друде (1900), который предложил рассматривать электроны как свободные, испытывающие мгновенные столкновения с ионами (точнее, с их непроницаемыми сердцевинами), а в промежутке между столкновениями, не взаимодействующими ни с ионами, ни с электронами. Вероятность столкновения в единицу времени обратно пропорциональна времени релаксации X (времени свободного пробега), которое не зависит от пространственного положения электрона и его скорости. В состояние теплового равновесия электроны приходят только благодаря столкновениям. [c.41] Найденные по этим формулам величины г для металлов при 77 К составляют величины порядка 1—20-10-i с, v 10 см/с, а Л 1—10 А. Последние величины представлялись во времена Друде достаточно разумньши. Однако после развития способов получения особо совершенных кристаллов при достаточно низких температурах удалось достичь столь низких значений р, которые указывали на длины свободного пробега порядка 1 см. Столь большие значения, конечно, невозможно объяснить просто отсутствием соударений с ионами. [c.42] Явным недостатком теории Друде было то, что электропроводность выражалась через время релаксации, для теоретической оценки которого не существовало никаких представлений. Поэтому более надежными свидетельствами ее корректности могли быть характеристики, свободные от этого параметра. [c.42] Одной из характеристик металла, не зависящей от т, оказалась постоянная Холла. Схема эксперимента Холла хорошо известна (рис. 3.1). [c.42] Этот результат замечателен тем, что коэффициент Холла оказывается независящим от каких-либо параметров, за исключением концентрации носителей тока. Очевиден способ проверки для этого необходимо провести измерения ЭДС Холла Еу в зависимости от магнитного поля. Проведенные весьма тщательные измерения на особо чистых веществах при низких температурах показали, что найденные из эксперимента величины п для щелочных (одновалентных) металлов близки к 1 (электрон на атом) благородных металлов (также одновалентных) к 1,3 1,5 двухвалентных Be и Mg -0,2- --0,4, трехвалентных А1 и In —0,3. [c.44] Кроме того, такие измерения выявили для ряда металлов зависимость Rh от магнитного поля. [c.44] Таким образом, результаты измерений эффекта Холла показали, что рассматриваемая в этом разделе модель не объясняет отличие измеренного значения п от валентности для ряда металлов, не позволяет понять положительного знака Rh для некоторых металлов (положительно заряженного электрона в модели Друде быть не может ), не согласуется с обнаруженной зависимостью Rh от Я. [c.44] Экспериментальные данные оказались существенно отличающимися от предсказаний рассматриваемой теории. Теплоемкость электронного газа оказалась зависящей от температуры (пропорциональной Т), причем ее величина, например, при комнатной температуре была меньше предсказываемой на два порядка. [c.44] Вернуться к основной статье