ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные- уравнения в напряжениях из "Теория упругости " При решении задачи первого типа обычно выгодно за основные неизвестнее принять компоненты тензора напряжений, т. е. решать задачу в напряжениях. При этом для упрощения решения задачи основные уравнения следует представить только через искомые функции aej. [c.78] В формуле (4.12), определяющей три дифференциальных уравнения Ламе (4.13), свободный индекс i можно заменить любой другой буквой, например /, т. е. [c.79] Остальные зависимости получаются путем круговой перестановки индексов в уравнениях (4.52) и (4.53). [c.80] Три уравнения типа (4.52) и три уравнения типа (4.53) были получены Дж. Мичеллом в 1900 г. Поэтому уравнения, определяемые равенством (4.51), называют уравнениями Бельтрам и— М и ч е л л а. Они представляют собой условия совместности, выраженные через компоненты тензора напряжений Oij. [c.80] ВИЯМ (4.6). Далее по полученным функциям aij (Xk) находятся функции ги (Xh) из алгебраических уравнений (4.5) закона Гука. Так как при нахождении функций atjixii) удовлетворялись условия совместности Бельтрами—Мичелла, то функции etj (xj будут удовлетворять дифференциальным зависимостям Сен-Венана, т. е. необходимым и достаточным условиям интегрируемости уравнений (4.1). Тогда путем интегрирования уравнений (4.1) определяются перемещения щ (х ). [c.81] Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы,например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за последнее время широкое применение метод конечных элементов. В некоторых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана. [c.81] Сен-Венан применил (1855) полуобратный метод при решении задачи об упругом равновесии призматического бруса произвольного поперечного сечения, находящегося под действием поверхностной нагрузки на его торцах. Эта задача, представляющая большой практический интерес (кручение и изгиб призматического бруса), называется задачей Се н-В е н а н а (см. гл. VII и VIII). [c.82] Принцип Се н-В е н а н а утверждает, что если к небольшому участку поверхности тела приложена система сил, главный вектор и главный момент которой равны нулю, то эта система сил вызывает локальное напряженно-деформированное состояние, быстро убывающее по мере удаления от участка приложения сил. [c.82] Принцип Сен-Венана можно сформулировать также следующим образом если некоторую совокупность поверхностных сил на сравнительно малой части поверхности тела заменить статически эквивалентной аютемой сил, действуюищх на той оке части поверхности, то такая замена сил практически не изменит напряжений и перемещений в точках, удаленных от плош адки приложения сил на расстояния, не меньшие наибольшего линейного размера этой площадки. [c.83] Принцип Сен-Венана позволяет удовлетворять граничные условия интегрально, т. е. удовлетворять на конкретному закону распределения поверхностных сил, а их главному вектору и главному моменту. [c.83] Принцип Сен-Венана достаточно хорошо подтверждается экспериментально, хотя еще и сейчас не имеет законченного теоретического обоснования. Обзор работ, посвященных исследованию и математическому обоснованию принципа Сен-Венана, можно найти в статье [231. [c.83] Задачи, в которых компоненты тензора напряжений aij (л ), а следовательно на основании (4.5) и компоненты тензора де( рмации tj (Xh), определяющие напряженно-деформированное состояние упругого тела, являются линейными функциями координат Xi, его точек или постоянными величинами, называются простейшими задачами теории упругости. [c.83] В тех случаях, когда массовые силы / можно считать равными нулю, условия совместности Бельтрами—Мичелла (4.54) при линейных функциях aij (хц) удовлеторяются тождественно. Следовательно, если эти функции не будут противоречить уравнениям равновесия (4.3), то они представляют точное решение рассматриваемой задачи при выполнении ее граничных условий (4.6). При этом в силу теоремы о единственности (см. гл. V) это решение будет однозначным. [c.83] Простейшие задачи теории упругости решаются или полуобратным методомСен-Венана, или как обратные задачи в тех случаях, когда решение фактически сводится к проверке решений задач, известных из сопротивления материалов. [c.83] Растяжение призматического бруса. Рассмотрим призматический брус (рис. 4.2), длина I которого значительно больше наибольшего линейного размера поперечного сечения произвольной формы. Начало координат О совместим с центром тяжести левого торца бруса, направив ось Хз по оси бруса. Боковая поверхность бруса свободна от поверхностных сил, а к торцам приложены распределенные равномерно поверхностные силы /3 = а ( i = 2 = 0). которые растягивают брус равнодействующими Р = aF, где F — площадь поперечного сечения. Полагаем, что массовые силы /г равны нулю. [c.83] Теперь по формуле (1.101) найдем перемещения точки М (х,,). [c.84] Таким образом, полученныь из основных уравнений теории упругости результаты, являясь точным решением рассматриваемой.задачи, совпадают с решением, известным из курса ч опротивления материалов. [c.85] Однако это решение будет точным при условии, что силы, растя-гиваюш,ие брус, распределены по его торцам равномерно, о согласно принципу Сен-Венана это решение можно считать точным и при ином епособе приложения растягивающих сил Р. [c.85] Растяжение призматического бруса под действием собственного веса. Вертикально расположенный призматический брус (рис. 4.3) длиной I закреплен по верхнему торцу и находится под действием собственного веса. Начало координат О совместим с центром тяжести нижнего торца недеформированного бруса, направив ось Хз вверх по оси бруса. [c.85] Вернуться к основной статье