ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Глаубера-Сударшана из "Квантовая оптика в фазовом пространстве " Поэтому Р-функцию надо понимать в смысле обобш,ённой функции распределения. Действительно, в следуюш,ем разделе мы показываем, что Р-функция может становиться более сингулярной, чем дельтафункция. Для т-ного фоковского состояния она представляет собой т-ную производную дельта-функции. А для сжатого состояния она даже содержит производные бесконечно большого порядка. [c.381] Следовательно, Q-функция представляет собой Р-распределение, проинтегрированное по фазовому пространству вместе с весовым множителем, заданным функцией Гаусса. Последняя является Q-функцией когерентного состояния /3). Это соотношение приводит к следуюш,ей интерпретации Q-функция квантового состояния появляется, когда мы считываем (read out) Р-распределение, используя когерентное состояние. [c.382] Уравнение (12.35) показывает также, что Q-функция квантового состояния всегда шире соответствуюш,его Р-распределения, так как последнее усредняется с гауссовским распределением. Эти два распределения помогают вычислять средние значения квантово-механических операторов. Эти операторы, однако, упорядочены различным образом, что и отражается в различном виде этих распределений. Следовательно, эти распределения и суш,ествуют в различных фазовых пространствах. [c.382] Это соотношение позволяет нам найти Р-распределение для произвольного квантового состояния по его ( -функции. Для этой цели мы сначала должны вычислить преобразование Фурье ( -функции, а затем вычислить указанный выше интеграл. В Приложении К мы следуем этому подходу для получения Р-функций различных квантовых состояний, которые обсуждаются в следуюш,ем разделе. [c.384] Кроме того, уравнение (12.43) проливает свет на тот факт, что ( -функция всегда шире, чем Р-функция. Уравнение (12.40) показывает, что из-за гауссовской функции с отрицательным показателем экспоненты фурье-образ ( -функции всегда уже, чем фурье-образ Р-функции. Поэтому обратное преобразование Фурье Q, то есть сама Q-функция, всегда шире, чем Р-функция. [c.384] Таким образом, предел (п) 1 соответствует случаю больших температур, когда дискретностью числа фотонов и разницей между п и п + 1 можно пренебречь. [c.385] Фоковское состояние. Р-функция теплового состояния является вполне благонравной функцией Гаусса. Только в предельном случае вакуумного состояния она превращается в дельта-функцию Дирака. Теперь мы показываем, что состояние с заданным числом фотонов более сингулярно, чем вакуумное состояние. Его Р-функция включает производные более высокого порядка. [c.386] Из-за появления п-го полинома Лагерра Ьп возникают степени лапласиана вплоть до п-го порядка, которые действуют на дельта-функцию. Следовательно, п-фотонное состояние приводит к производным вплоть до 2п-го порядка от дельта-функции. [c.386] ДЛЯ фоковского состояния с одним фотоном. [c.386] Сжатое состояние. Состояние с п фотонами имеет Р-функцию, которая содержит 2пю производную от дельта-функции. Сжатое состояние, по крайней мере, в одном направлении более узкое, чем когерентное состояние. Поэтому его Р-функция должна быть более сложной, чем дельта-функция. [c.386] Так как она содержит производные бесконечно высокого порядка от дельта-функции, она более сингулярна, чем Р-функция фоковского состояния. Это выражение, тем не менее, полезно всякий раз, когда оно стоит под знаком интеграла, что является обычной ситуацией для функций распределения. [c.387] Получить аналитическое выражение (12.15) для Q-функции теплового фазового состояния. [c.387] Указание Использовать гауссовский предел распределения Пуассона и заменить суммирование интегрированием. См. Daubler et al (1993). [c.387] В данной задаче операторы а и подчиняются коммутационному соотношению [а,аЦ = 1, а а) обозначает когерентное состояние. [c.388] Указание Выразить а и через операторы координаты и импульса и вычислить след с помощью собственных состояний оператора координаты. [c.390] Указание Вычислить след с помощью фоковских состояний. [c.390] С помощью этой формулы задача сводится к интегрированию экспоненциальных функций. [c.390] Указание Могут помочь формулы из Задач 12.4 (а), (в). [c.390] Вернуться к основной статье