ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вопрос о фазовых состояниях из "Квантовая оптика в фазовом пространстве " В этом разделе мы продемонстрировали на нескольких примерах как работает представление об интерференции в фазовом пространстве. Оказалось, что это мощный инструмент для выяснения важных свойств скалярных произведений квантовых состояний. [c.253] Когда Дирак занялся квантованием электромагнитного поля, он также последовал по пути применения переменных действие-угол. Он использовал оператор фазы, проигнорировав те проблемы, которые отметил Лондон. С тех пор вопрос об операторе фазы стал предметом обсуждения поколений физиков. Здесь мы хотим только отметить самый последний подход Барнетта и Пегга. За более детальным обзором проблемы отсылаем читателей к литературе в конце этой главы. [c.253] Поскольку это уравнение второго порядка, для однозначного определения дальнейшего поведения осциллятора необходимо задать две величины начальные координату хо = x(to) и импульс ро = ( о) в заданный момент времени to. Классическое состояние осциллятора характеризуется координатой и импульсом и является поэтому точкой в двумерном пространстве, натянутом на координату и импульс. Координаты точки в фазовом пространстве равны хо,ро). [c.254] Действительно, сро — это угол, определённый начальными координатами в фазовом пространстве хо,ро). [c.255] Из уравнения (8.27) ясно видно, что осциллятор движется с течением времени по окружности в фазовом пространстве. Радиус этой окружности равен квадратному корню из удвоенной энергии, а угловая скорость в фазовом пространстве равна единице или, в размерных единицах, частоте осциллятора. [c.255] Действие J и фаза (р определяют состояние осциллятора ничем не хуже переменных х w р. [c.255] В такой геометрической картине разложение (8.29) фазового состояния по состояниям данной энергии соответствует представлению клина последовательностью соседних кольцевых сегментов, вырезаемых из него полосами Планка-Бора-Зоммерфельда. Подчеркнём, что каждый кольцевой сегмент соответствует амплитуде вероятности и поэтому имеет свою фазу. Следовательно, клин построен как последовательность интерферирующих сегментов. [c.257] К сожалению, это определение имеет недостаток. Действительно, как показано на основании геометрических соображений рис. 8.7, каждое собственное состояние данной энергии т) вносит в бесконечную сумму в выражении (8.35) вклад т (р) = (2тг) /2 0 зависящий от т. Отсюда выражение для (р) (8.35) не является сходящимся О. [c.259] О Математически корректный аналог формулы (8.35), свободный от указанного недостатка, получается, если вместо полуклассического разложения по плоским волнам использовать разложение по базису функций квантового оператора фазы, введённого В.Н. Поповым и B. . Яруниным (см. литературу в конце главы). — Прим. ред. пер. [c.259] К сожалению, объём книги не позволяет углубиться в изучение свойств этих поразительных пространств, построенных из конечного числа собственных энергетических состояний. Для более детального обсуждения данного вопроса отсылаем читателя к списку литературы. [c.260] Эволюция фазовых состояний во времени. Вопреки обычному соглашению, мы включили фазовый сдвиг 2 в определение фазовых состояний (8.35). Этот сдвиг проявляется в выражениях (8.33) и (8.34) и вытекает из суш,ествования энергии нулевых колебаний осциллятора. Как следствие, фазовые состояния (8.36) имеют период 4тг, а не 2тг. [c.260] Порождаемая энергией нулевых колебаний фаза несуш,ественна при вычислении моментов или построении оператора фазы. Однако эта фаза проявляет себя в интерференционных экспериментах. Кроме того, она удобна при рассмотрении эволюции фазового состояния во времени. [c.260] Здесь мы использовали формулу (8.34) для амплитуды вероятности нахождения данной фазы в состоянии данной энергии. При вычислении модуля постоянный фазовый сдвиг (р/2, конечно, пропадает. [c.261] Таким образом, плотность вероятности нахождения фазы равна квадрату модуля бесконечной суммы, включающей амплитуды вероятности обнаружения данной энергии и фазовые множители. [c.261] Этот результат аналогичен известному факту, что амплитуда вероятности ф р) данного р есть фурье-образ амплитуды вероятности ф(х) данного X. Однако, поскольку состояния гармонического осциллятора имеют положительную энергию т О, в выражение (8.37) входит половинчатая сумма фурье-компонент только по положительным т. Это обстоятельство приводит к большим осложнениям при попытке построения оператора фазы. [c.261] Вывести выражение (5.30) для собственного энергетического состояния ВКБ-приближении, исходя из представления об интерференции в фазовом пространстве. [c.262] Получить статистику фотонов в когерентном или сжатом состояниях с помощью функции Вигнера. [c.262] Попов В.П., Ярунин B. . Операторы фазы фотона // ТМФ. 1991. Т. 89. С. 395-401. [c.265] Вернуться к основной статье