ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Квантование энергии из "Квантовая оптика в фазовом пространстве " Кроме того, согласно формуле (5.15), потенциал II, или точнее скорость изменения II, тоже накладывает ограничения на применимость техники ВКБ-приближения. Разрешены только медленно изменяюш,и-еся потенциалы. Любые потенциалы с острыми углами не могут быть рассмотрены данным методом, их нужно рассматривать другим методом — ВКБ-приближением, способным бороться с острыми углами. За деталями отсылаем читателя к литературе в конце главы. Подчеркнём, однако, что в обш,ем случае волновые функции ВКБ-приближения находятся в превосходном согласии с точными волновыми функциями. [c.187] Подчеркнём, что к имеет размерность обратной длины и поэтому играет ооль волнового числа. [c.187] Это уравнение показывает, что поведение волновой функции данной энергии в точке поворота удовлетворяет уравнению Шрёдингера с линейным потенциалом. Конкретная форма потенциала входит только в виде значения его первой производной в точке поворота. [c.188] Дифференцируя это выражение по координате и пользуясь дифференциальным уравнением (5.20) для функции Эйри, нетрудно убедиться, что так определённая волновая функция и х) удовлетворяет уравнению Шрёдингера в приближении (5.17) линейного потенциала. [c.188] Сшивка двух решений. Итак, мы получили точное решение уравнения Шрёдингера в окрестности точки поворота Чтобы определить фазу а, мы должны теперь сшить это решение с осциллируюш,ей волновой функцией (5.16), справедливой на достаточном удалении от точек поворота. [c.188] Для этого напомним выписанное в приложении Д соответствую-ш,ее асимптотическое разложение функции Эйри. Из формулы (5.21) следует, что положительные значения аргумента функции Эйри соответствуют классически недоступной области потенциала, в то время как отрицательные значения описывают классически разрешённую область. [c.188] Чтобы получить правильный переход между двумя волновыми функциями, следует линеаризовать потенциал в волновой функции ВКБ-при-ближения. Действительно, решение в виде функции Эйри было получено для линейного потенциала. [c.189] Соответственно, мы знаем, что в точках поворота ВКБ-волна имеет фазу —7г/4, что показано на рис. 5.2. Это простейший вид так называемого индекса Маслова, возникаюш,его при применении ВКБ-анализа для многомерных систем. За более подробным обсуждение отсылаем к цитированной литературе. [c.189] Это условие квантования Бора-Зоммерфельда-Крамерса. [c.191] Заметим, что интеграл действия 3 квантован в долях полуцелых значений 2тгЙ. Такое квантование по полуцелым, а не по целым значениям следует из фазового сдвига а = тг/4, который, в свою очередь, обязан своим происхождением приближённому выражению волновых функций в виде функций Эйри. Это утверждение становится ясным, если проследить происхождение множителя 1 /2. Данный результат был получен Г. Крамерсом в 1926 г. [c.191] Завершим этот раздел замечанием, что метод ВКБ нахождения волновых функций данной энергии неприменим к несепарабельным системам большей размерности. В качестве примеров можно привести задачу об атоме водорода в сильном постоянном магнитном поле или задачу о квантовом биллиарде. Эти задачи относятся к проблемам квантового хаоса. Полуклассическое рассмотрение оказывается в этом случае необычайно полезным. Однако данные вопросы выходят за оамки этой книги. [c.192] Вернуться к основной статье