ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Г л а в а 9 Вторичные скачки уплотнения из "Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа " Установим ряд свойств М-области, вытекающих из факта существования решения краевой задачи, сформулированной в плоскости годографа, и из общих свойств отображения в эту плоскость. Описываемые свойства справедливы при некоторых дополнительных ограничениях и для плоских вихревых течений, описываемых точными уравнениями идеального газа (см. 10), однако использование модели безвихревого трансзвукового течения позволяет достичь максимальной простоты и лаконичности доказательств. [c.242] Тогда ограничивающий область отрезок ударной волны в каждой точке обращен выпуклостью в сторону области за ударной волной (рис. 8.23). [c.242] Действительно, в силу локальной однолистности отображения течения в плоскость годографа (см. гл. 1, 11) образом рассматриваемой дозвуковой области является область, лежащая внутри фигуры, образованной петлей ударной поляры и отрезком звуковой линии. Если бы существовала точка перегиба ударной волны, то ее образ в плоскости годографа — точка возврата на ударной поляре — был бы концевой точкой разреза образа области за ударной волной (рис. 8.23). [c.242] В этом случае образ области за ударной волной должен был бы выходить за петлю ударной поляры, что невозможно. Направление выпуклости ударной волны определяется отрицательным знаком якобиана отображения, устанавливающим ориентацию области в плоскости годографа. [c.242] Рассмотрим сначала случай выпуклого профиля. [c.242] Кривые 0 А и О2В не могут пересекать дозвуковой отрезок ударной поляры, так как в этом случае нарушился бы закон монотонности вектора скорости на звуковой линии, вытекающий из свойства локальной однолистности отображения дозвуковых областей. Поэтому образ дозвуковой области целиком расположен вне петли ударной поляры. Это означает, что на ударной волне не существует точек перегиба (см. рис. 8.24). [c.243] Если контур профиля не является выпуклой кривой во всех своих точках, то часть образа дозвуковой области при наличии точек перегиба Р, Н на ударной волне (и только в этом случае) будет лежать внутри петли ударной поляры. В плоскости годографа при этом образуется двулистная поверхность (типа винтовой) с точками возврата на ударной поляре Г, Н (рис. 8.25). [c.243] Однако при непрерывной деформации исходного профиля в выпуклый, непрерывное преобразование течения в М-области невозможно, что противоречит предположению о корректности задачи. Действительно, при таком преобразовании петля образа контура, содержащая внутри себя точки Г, Н стянулась бы в точку, лежащую на дозвуковом отрезке ударной поляры. В силу локальной однолистности отображения дозвуковой области это невозможно О. [c.243] что ударная волна, возникающая при обтекании невыпуклого профиля, обращена на дозвуковом отрезке выпуклостью в сторону набегающего потока, было замечено в [27] при проведении расчетов соответствующих обтеканий. [c.243] Изложим доказательство Ф.И. Франкля. Рассмотрим обтекание конечного клина с присоединенной ударной волной, когда течение за ней в некоторой окрестности острия дозвуковое. Так всегда будет при сильном скачке уплотнения (точнее, так было бы, если бы он существовал), а при слабом, в зависимости от числа Моо и угла /Зо раствора клина, течение может быть как сверхзвуковым, так и дозвуковым. [c.244] Рассмотрим отображение дозвуковой области в плоскость годографа. Граница образа области дозвуковых скоростей за сильной ударной волной представляет собой самопересекающуюся кривую С1АВ, состоящую из отрезков ударной поляры и прямых /3 = /Зо, А = 1, если /З1 /Зо /З2, где /З1 — значение /3 в точке пересечения ударной поляры с прямой Л = 1, /З2 — максимальное значение /3 на ударной поляре. При /3 /З1 образ дозвуковой области (за сильным скачком) целиком лежит внутри петли ударной поляры. Оба случая неосуществимы ввиду свойства локальной однолистности отображения (рис. 8.26). [c.244] Рассмотрим плоское вихревое течение за гладкой ударной волной в равномерном сверхзвуковом потоке. Исследование будем производить с помощью отображения в плоскость годографа давления р/З. Как было показано в гл. 1, отображение области дозвуковых скоростей в эту плоскость не имеет складок выполняется следующее правило обходу границы области Q дозвуковых скоростей, при котором область остается слева в плоскости р/З соответствует обход образа границы Q, при котором образ Q остается также слева. [c.244] Обозначим через Т точку изменения выпуклости ударной волны по отношению к внешней нормали. Если на ударной волне существует точка Т, то из соотношений на скачке уплотнения следует, что перемещению вдоль ударной волны мимо точки Т соответствует перемещение по ударной поляре с точкой возврата в образе точки Т. Если в Т скорость дозвуковая, то, в соответствии с правилом обхода, образ ударной волны в некоторой окрестности I будет разрезом в образе области за ударной волной (рис. 8.28). [c.245] В дальнейшем ограничимся случаями, когда граница области дозвуковых скоростей не содержит вторичных скачков уплотнения. [c.245] Пусть граница области Q дозвуковых скоростей состоит из отрезков гладкой ударной волны и звуковых линий. При 1 к,М ) отрезок ударной волны принадлежащий границе Q), на котором М М, в каждой своей точке обращен выпуклостью в сторону области заударной волной (рис. 8.23). [c.246] В связи с тем, что граница Q состоит только из отрезков ударной волны и звуковых линий и ввиду отсутствия при М 1 линий ветвления (при отображении со складками граница образа области может содержать край складки — линию ветвления) граница образа Е, в точках которой р рь может быть только образом отрезка звуковой линии. Однако в соответствии со свойствами Б, в при Мо 1л к, М ) это невозможно. [c.246] Таким образом получено, что ударная волна на некотором дозвуковом отрезке при М ) не содержит точек Т и что образ окрестности этого отрезка расположен внутри петли ударной поляры. Применяя правило обхода границы области и соотношения на скачке уплотнения, получим, что ударная волна на этом отрезке обращена выпуклостью в сторону области за ударной волной. [c.246] Такое течение с вогнутой ударной волной, по-видимому, имеет место при истечении сверхзвуковой струи в пространство с повышенным давлением, на режиме нерегулярного отражения косого скачка уплотнения от оси симметрии струи (см. рис. 2.9). [c.246] Перейдем теперь к области Q, граница которой содержит отрезок контура профиля. Рассмотрим обтекание гладкого выпуклого профиля с отошедшей ударной волной. Критической называется точка, в которой приходящая на профиль линия тока разветвляется на две в критической точке скорость равна нулю. [c.246] Пусть при сверхзвуковом обтекании гладкого выпуклого профиля, единственного во всем потоке, имеют место следующие свойства. [c.246] Вернуться к основной статье