ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приближенные аналитические методы из "Теория упругости Основы линейной теории и ее применения " Различные приближенные аналитические методы связаны с вариационными формулировками и основываются на том, что существует тесная связь между вариационными проблемами и соответствующими краевыми задачами, выражаемая дифференциальными уравнениями Эйлера — Лагранжа. Эта взаимосвязь имеет большое значение для теории (см. гл. 4). Для краевой задачи всегда можно сформулировать соответствующую вариационную задачу и искать затем ее решение. При этом были развиты численные методы, чтобы решать вариационную задачу, не применяя дифференциальных уравнений Эйлера — Лагранжа, а посредством так называемых прямых методов вариационного исчисления. [c.129] Для численной реализации и для улучшения характера сходимости уравнений метода Ритца важно подобрать такие координатные функции, которые являются частью линейно независимой и полной бесконечной системы функций. [c.130] Линейная независимость означает, что ни одна из функций, входящих в решение, не может быть представлена в виде линейной комбинации конечного числа других функций, в то время как полнота означает, что всякую функцию f(x) с произвольной точностью можно приблизить линейной комбинацией конечного множества функций. Полнота функций, образующих решение, имеет принципиальное значение, так как в противном случае возникает большая погрешность при нахождении результата и аппроксимация даже большим числом членов может сильно отличаться от точного решения. [c.130] причем чаще всего можно ограничиваться малым числом членов. [c.131] Обычно стремятся обеспечить практическую сходимость результатов и получение приближенных решений с достаточной точностью при малом числе координатных функций. Важен при этом подходящий выбор системы функций с учетом лежащего в основе функционала. [c.131] При этом справедливы замечания и оговорки, аналогичные уже упомянутым в п. 6.4.1.1. [c.131] Выбор подходящих координатных функций и удовлетворение граничным условиям, естественно, в рассматриваемом случае значительно сложнее, чем в одномерном. Нужно вообще заметить, что сходимость метода Ритца с увеличением числа независимых переменных ухудшается. [c.131] Метод Трефтца очень эффективен, им могут быть решены некоторые задачи теории упругости (например, задачи кручения), причем можно задать ошибку аппроксимации. В качестве недостатка этого метода по сравнению с методом Ритца можно указать на его медленную сходимость. [c.132] В заключение следует еще упомянуть метод Бубнова — Галёркина Хотя он не связан прямым образом с вариационной задачей в смысле метода Ритца, но зато возможности его применения к различным областям физики (в том числе к нелинейным задачам) очень широки. Более полные сведения о нем содержатся в [В42]. [c.132] В основе этого метода лежит дискретизация решаемой задачи, которая осуществляется иным способом, нежели в методе сеток. Классическим предшественником метода конечных элементов в теории упругости был приближенный метод на основе так называемой ферменной аналогии, которая была предложена Хренниковым [39] и Мак Генри [40]. [c.133] При этом упругая пластина заменялась стержневой моделью, и напряженное состояние в упругой сплошной среде представлялось статически эквивалентными силами на концах стержней. [c.133] Применение к модели методов вычислений, используемых в строительной механике стержней, позволяет приближенно решать задачи теории пластин, дисков и оболочек. После того как приблизительно с начала 50-х гг. стали появляться быстродействующие вычислительные машины, начали развиваться матричные методы в статике упругих систем для расчета сложных конструкций. Возникли различные вычислительные методы для анализа многократно статически неопределимых систем. Аргирис [В19] в особенности довел методы перемещений и сил в матричной форме до эффективных общих вычислительных методов расчета статики и динамики сложных систем (например, конструкций самолетов). Примерно к тому же времени относится обобщение этих методов благодаря идее расчленения сплошной среды на конечное множество частей с последующим применением к ним вычислительных матричных методов. В различных работах [41, 42] впервые появилось понятие конечного элемента и последовало применение метода сначала к плоским задачам теории упругости с использованием треугольных или прямоугольных конечных элементов . [c.133] Чтобы ясно представлять суть метода конечных элементов, обсудим прежде всего на примере плоской задачи теории упругости так называемый метод перемещений, который был развит чисто интуитивно из матричных методов статики упругих систем. Затем будет еще показано, что метод конечных элементов в качестве вариационного метода получает строгое ме-ханико-математическое обоснование. [c.133] Рассматриваемая сплошная среда, согласно рис. 6.1, расчленяется воображаемыми линиями на конечные элементы произвольной формы (например, треугольники). Они могут иметь отнюдь не одинаковые размеры или форму и ограничиваться прямыми или кривыми линиями. [c.133] Отдельные элементы связаны друг с другом в конечном множестве узловых точек. Узловые точки в простейшем случае располагаются в вершинах элементов, но для сложных конечных элементов могут лежать на сторонах элемента. [c.133] В качестве основных независимых переменных рассматриваются перемещения узловых точек ( метод перемещений ), а деформации отдельных элементов и нагрузки на них приближенно могут быть выражены через перемещения узловых точек и приложенные к ним силы. Таким образом строится идеализированная сплошная среда, физические свойства которой определяются так, чтобы они возможно ближе соответствовали свойствам реальной сплошной среды. На основе аппроксимаций для отдельных элементов получается приближенное решение для всей идеализированной области. [c.134] Для записи условий равновесия можно использовать, например, равенство работ ) внешних и внутренних сил, т. е. [c.136] Для простого треугольного элемента при линейном распределении перемещений матрица В постоянна и матрица жесткости для элемента постоянной толщины t с площадью треугольника А получается равной к = ЛШ ЕВ. [c.137] Входящая в (6.37) общая матрица жесткости К также всегда симметрична и образуется наложением матриц жесткости элементов путем суммирования согласно (6.36). [c.138] Построенная таким образом общая матрица жесткости сингулярна ), так как общим соотношением (6.37) описывается поведение идеализированной сплошной среды как твердого тела, перемещения узлов которого никоим образом не ограничены. Постановка подходящих граничных условий и условий опирания позволяет получить так называемую редуцированную матрицу жесткости Кгес1, которая является невырожденной и может быть обращена. [c.138] Вернуться к основной статье