ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приближенные и численные методы из "Теория упругости Основы линейной теории и ее применения " В зависимости от постановки для решения задач теории упругости могут применяться различные интегральные преобразования. При этом получаются точные решения для напряжений и перемещений в форме несобственных интегралов, сходимость которых обеспечена. Обычно они оцениваются численно, в замкнутой форме обратное преобразование возможно лишь в частных случаях. Некоторые примеры обсуждаются в последующих параграфах 8.6 и 9.6. [c.127] Для плоских задач с помощью преобразования Фурье можно построить решения первой и второй граничных задач для бесконечной и полубесконеч-ной областей, с помощью синус- или косинус-преобразования Фурье для полосы конечной ширины, а также для слоистых пластин. При рассмотрении в полярных координатах удобным является преобразование Меллина с его помощью получаются, например, решения для клиновидной области. Впрочем, существует тесная связь между преобразованием Меллина и комплексным преобразованием Фурье. [c.127] Пространственные осесимметричные задачи могут решаться применением преобразования Ханкеля, например, полупространство, нагруженное усилиями, симметричными относительно оси симметрии и приложенными нормально к границе, или нагруженное сосредоточенной силой внутри области (задача Миндлина). Для задачи о сплошном нли полом конусе при различных нагрузках на границе можно использовать многомерное преобразование Фурье. [c.127] Нужно отметить также, что как в плоском, так и в пространственном случае с помощью интегральных преобразований может быть найдено решение смешанной граничной задачи, напрнмер задачи о действии штампа или общей контактной задачи. Способ здесь в общем случае является очень сложным, так как формулировка граничных условий приводит к так называемым парным интегральным уравнениям, решение которых (если его вообще удается получить в замкнутой форме) не всегда просто. Следует также назвать в качестве важного еще так называемый метод Винера — Хопфа [В43]. Интегральные преобразования позволяют также получить решения элементарных задач теории трещин, которые лежат в основе линейной механики разрушения для плоского и пространственного случаев [ВЗО] (так называемых трещин Гриффитса, или дискообразных трещин). [c.127] Возможности построения точных решений задач теории упругости ограничены. Как для пространственных, так и для плоских задач точные решения можно получить описанными выше методами только для областей с геометрически простыми границами (и чаще всего только для бесконечных и полубесконечных областей). [c.127] Метод Ритца получил существенное развитие и видоизменение, а лежащая в его основе идея в модифицированной форме применяется в методе конечных элементов, который сегодня может рассматриваться, пожалуй, как важнейший численный метод вообще в теории поля. [c.128] В дискретных приближенных методах неизвестные функции с самого начала заменяются их значениями в отдельных точках. При этом различными способами получают прямые приближенные решения основных уравнений, и в процессе вычислений постоянно оперируют численными значениями основных переменных. Иногда в качестве недостатка этих методов указывают на то, что нет аналитического выражения ( формул ) зависимости переменных друг от друга, а получаются только численные значения искомых функций в определенных точках (поэтому эти методы называются также сеточными). При применении теории упругости к практическим задачам это обстоятельство часто не является помехой, так как обычно и без того граничные значения, напрнмер, нагрузки, действующей на элементы конструкций, известны по измерениям в конечном числе точек. [c.128] Наиболее известным и широко применяемым приближенным численным методом является метод конечных разностей в различных модификациях. Основные дифференциальные уравнения и граничные условия при этом преобразуются в разностные уравнения. [c.128] НОЙ мере для метода граничных интегральных уравнений, которые являются промежуточными между аналитическими и численными методами. [c.129] Вернуться к основной статье