ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Число пересечений уровня гауссовскими процессами из "Выбросы траекторий случайных процессов " Как правило, таким уравнением описывается типовое апериодическое звеио с постоянной времени и коэффициентом передачи к. [c.58] Как правило, подобным уравнением описывается типовое дифференцирующее звено с замедлением условно такое звено можег рассматриваться и в виде двух последовательно соединенных элементарных звеньев — идеального дифференцирующего и типового апериодического. [c.61] Этот результат показывает, что изменения среднего числа пересечений при линейном преобразовании (14), как и при преобразовании (4), в основном определяются параметром р = Тк /я7 , характеризующим квадрат отношения интервала корреляции исходного гауссовского процесса 1) к постоянной времени Тг рассма1 риваемого преобразования. [c.61] Постоянной времени Т- Тк) из (17) получим к (Р) 1. [c.61] Подобным уравнением обычно описывается типовое колебательное звено, которое часто используется в качестве математической модели различных по своей физической природе устройств радиотехнических цепей, упругих механических систем, некоторых маятниковых, измерительных и гироскопических устройств. Параметр К интерпретируется прп этом как коэффициент затухания, (Оо — собственная частота звена. [c.62] При сформулрхрованных условиях вычислим среднее число выходов траектории процесса ц ( ) из интервала [—Я, Я] (рис. [c.62] Из выражений (21) видно, что математические ожидания рассматриваемого нестационарного процесса т) (t) и его производной 11 t) зависят от заданных начальных условий (19). Физически очевидно, что от начальных условий будет зависеть и интересующее нас текущее среднее число выходов траектории процесса г] ( ) из интервала [—Н,Н]. Достаточно представить себе, например, два противоположных случая начальная координата т]о находится внутри интервала [—Н, Н] и вне этого интервала (см. рис. 2.5). [c.63] Результаты расчетов по этой формуле на ЦВМ для нескольких Значений отдельных параметров приведены на рис. 2.6—2.8. [c.65] Если в качестве аналитических моделей для функций (т) выбрать, наиример, нормированные корреляционные функции, приведенные в табл. 1.1, то для конкретизации результатов в формулы (40) и (42) для h) достаточно подставить значения коэффициента х. В частности, для корреляционных функций, записанных в первых трех строках табл. 1.1, величина этого коэффициента соответственно равна= 2/л, Хг = 1/1 2 , Хд = 1/ / 12. [c.68] Существующие нелинейные преобразования условно можно разделить на два основных класса — нелинейные безынерционные (функциональные) и нелинейные инерционные. Целесообразность такого деления во многом связана с различием сложности и методов исследования безынерционных и инерционных систем при этом различными оказываются и подходы к нахождению вероятностных характеристик выбросов. [c.69] Рассмотрим некоторые особенности вычисления среднего числа пересечений применительно к нелинейно преобразованным случайным процессам. [c.69] Последняя формула, по существу, выражает очевидный физический результат при взаимно однозначном функциональном преобразовании (1) всегда существует однозначное соответствие между каждым пересечением уровня траекторией процесса ( ) и каждым пересечением уровня Ят[ траекторией процесса т] ( ). Если функциональное преобразование у = / (х) является монотонно возрастающей функцией, то каждый положительный выброс процесса ( ) преобразуется также в положительный выброс процесса г) t). Наоборот, при монотонно убывающей функции / (а ) каждый положительный выброс ( ) преобразуется в отрицательный выброс Г] t). Поэтому знак производной ф Нц) не сказывается на окончательном результате. [c.70] В тех случаях, когда функциональное преобразование многозначно, задача вычисления среднего числа выбросов может существенно усложниться. [c.70] Отметим одно из характерных свойств нелинейных функциональных преобразований. Предположим, что исходный процесс t) и его производная t) независимы в совпадающие моменты времени, т. е. для них выполняется условие (2.1.25). Тогда для преобразованного процесса г] ( ) и его производной г] ( ) свойство статистической независимости, как правило, не сохраняется. Пояснить это можно следующим образом. [c.70] Некоторые конкретные примеры использования этой формулы даны в разд. 2.5. [c.71] Воспользуемся отдельными результатами разд. 2.1—2.4 и найдем среднее число пересечений фиксированного уровня для некоторых распространенных моделей дифференцируемых случайных процессов. [c.75] Р% ( П1 — одномерная плотность вероятности (1.6.3) %-про-Цесса. [c.75] Из этой формулы следует, что рассматриваемый х-процесс относится к классу стационарных процессов со статистически независимой производной. Более того, хотя производная т) ( ) и не является здесь гауссовским процессом ее одномерная плотность вероятности, как видно из выражения (3), является нормальной с математическим ожиданием М г) ( ) = О и дисперсией (0). [c.76] Во избежание противоречий целесообразно подчеркнуть, что при дифференцировании негауссовских процессов ( ) результирующий процесс ц ( ) не может быть гауссовским. Операция дифференцирования ц t) == ( т] ( )/( относится к безынерционным линейным операциям, и процесс г ( ) будет гауссовским лишь в тех случаях, когда гауссовским является исходный случайный процесс Г) ( ). Действительно, в противном случае обратная операция (линейная операция интегрирования) должна была бы приводить полученный гауссовский процесс г] ( ) к исходному негауссовскому процессу т] ( ), что, естественно, противоречит общим свойствам линейных преобразований. [c.76] Это в принципе позволяет вычислять среднее число положительных пересечений уровня Я рассматриваемым х процессом. Однако пользоваться подобной формулой не всегда удобно, так как в нее входит параметр —г (0) = Яг, относящийся к гауссовским составляющим ( ) в практических задачах, когда наблюдению непосредственно доступен %-процесс, сведения о порождающих его компонентах (t) могут отсутствовать и предпочтительнее оказываются при этом результаты, полностью выраженные через характеристики исследуемого х процесса. [c.76] Вернуться к основной статье